Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
0 ./и> , _\ 00
и- ieu) Г [ e'yZ+ 'sintf " . f е 'sin $ "
= --------R----------dz + J --------------R-----------dz
0
В последнем выражении интегралы берутся от произведения убывающей и
осциллирующей функций, поэтому основной вклад в них даст область вблизи 2
= 0. Это объясняется тем, что излучение имеет место при переходе из
вакуума в металл. Вычислим интегралы приближенно, для чего положим в
показателях экспонент R = i- z cos в. Выражая sin д через R, получим
• г кг ¦ лГ f *77 (1-0cos6)z °г - *77(1+/? cos '
л+/т-А.
-сю 0
Интегрированием по частям можно представить эти интегралы в виде рядов по
степеням 1/R; оставляя только члены, линейные по этому параметру, получим
ЕГ _____ гг ____
На - Ь$ -
ЪrcJ
+
?(1-/?COS0) ?(1 +/?COS0).
sin 0etkr i -----r-----• (6)
Второй член в этом выражении описывает поле излучения, возникающего при
внезапной остановке заряда, а первый член - излучение, создаваемое
602
Глава XIII
изображением. Интенсивность излучения с частотой lj в телесный угол dQ
определяем по формуле
024.2
sin2 в dQ,
dI(u,0)=c\E(uJ,0)\2r2dQ=^ ¦ п (7)
7Г С (1-/3 COS 6)z
В нерелятивистском пределе < 1) формула (7) дает дипольное излучение:
dl (и, в) = sin2 в dQ, (8)
7Г С
интенсивность которого пропорциональна квадрату скорости частицы.
Отметим, что интенсивность излучения не зависит от массы частицы.
Интегралы от (7) и (8) по uj, дающие угловое распределение полного
излучения (со всеми частотами), будут расходящимися. Это обусловлено тем,
что металл считался идеально проводящим. В действительности, уже в
инфракрасной области спектра металл нельзя считать идеально проводящим,
так что при высоких частотах результаты (7) и (8) неверны.
Спектральное распределение полного излучения получится интегрированием
(7) по верхней полусфере:
,лл 4е2и2 (3 /32-1,_1+/3 Ъ\ /пч
1(ш) <9) В ультрарелятивистском пределе, когда полная энергия частицы 8
много больше энергии покоя тс2, формула (9) дает
/Н = ^ in-?j.
7гс тс*
Интенсивность излучения растет логарифмически с ростом энергии.
В нерелятивистском пределе выражение в скобках обращается в единицу:
а")
841. Компонента Фурье вектора поляризации имеет вид
¦ .ш ту _ ге -1-г
Определим сначала поле в точке А от осцилляторов, находящихся в области z
> 0 (рис. 133). Достаточно рассмотреть осцилляторы, лежащие вблизи
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществам
603
точки 2 = 0, так как только они создают поле излучения (см. предыдущую
задачу).
При использовании теоремы взаимности выберем осциллятор рд на оси z
вблизи 2 = 0 (точка В), а осциллятор в точке А, поле в которой мы должны
определить. Пусть оба они одинаковы по абсолютной величине
Рис. 133
и направлены вдоль 2, а расстояние между ними велико по сравнению с
длиной волны. Осциллятор рв создает в точке А поле, амплитуда Е+ которого
составляет с осью z угол, приближенно равный ^ - в (см. рис. 133). Волны
из А в В приходят двумя путями: непосредственно и после отражения от
границы диэлектрика. Соответствующие амплитуды обозначены на рисунке
через Е' и Е". Они составляют с Oz такие же углы ^ - д' и ^ - в.
Поэтому по теореме взаимности имеем Е+ = Е' + Е" или, учитывая, что в
волновой зоне осциллятора Н = n х Е, получаем Н+ = - Н' - Н" (все три
вектора Н+, Н', Н" перпендикулярны плоскости AOz).
Волна, приходящая из А в В непосредственно, создает поле
. . ,2 AkR
dH' = ^-§-Рш sin в dz. (2)
604
Глава XIII
Амплитуду отраженной волны можно определить с помощью формул Френеля, так
как расстояние АС велико и волна, испускаемая из точки А, может
рассматриваться вблизи точки С как плоская. С помощью формул (VIII.20),
учитывая изменение фазы волны и то, что д' ~ в, получим
2 f ikR'
dH" = j^ri Рш sin в dz, (3)
где
f = e cosa-v^-sg^ H = ACB.
e cos в + л/e - sin2 в
To поле H+, которое создается в точке А всеми осцилляторами, находящимися
в области z > 0, получится интегрированием суммы -(dH' + dH") по z от 0
до оо. Интегрирование проводится точно так же, как в предыдущей задаче.
Результат имеет вид
гг _ ev ( 1______. / \ sin 6eikr /4ч
+ 27ГС2 ' 1 + 0 cos в 1-/Jcos в) г '
Эту формулу легко понять путем сравнения с аналогичной формулой (6)
предыдущей задачи. Первый член описывает поле частицы, движущейся в
вакууме и внезапно останавливающейся в точке z = 0; второй - поле
изображения (-е/), движущегося в дюлектрике навстречу частице и также
останавливающегося в точке z = 0. В отличие от случая идеального
проводника, изображение слабее в / раз, его величина зависит от частоты ш
рассматриваемой гармоники (через e(w)) и от положения точки наблюдения
(через угол в).
Поле Н_ от диполей, лежащих при z < 0, определяем таким же путем. Волна
придет из А в В, преломившись на границе раздела. Используя снова формулы
Френеля, получим
dH- = -^гМ + f)p* sindV* dz. (5)
Здесь R" = I1 + I" - длина ломаной линии АС В' (см. рис. 133). Фаза ip
учитывает запаздывание:
W it . Ш Г2лП
<p=cl + cV?i •
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом 60S При \z\ С
