Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
854. Через площадку dcr = sds da плоскости, перпендикулярной направлению
движения частиц, проходит за единицу времени nv dcr частиц. Они передают
неподвижной частице импульс, равный
mAvznvdcr, (1)
где Avz изменение ^-компоненты скорости одной частицы при рассеянии ее на
неподвижной частице.
Искомая сила, равная полному импульсу, передаваемому за единицу времени,
получится интегрированием (1) по всему сечению пучка частиц. При этом
нужно выразить Avz через прицельный параметр s. Поскольку столкновения
упругие, имеем
Avz = - 2d sin2 (2)
в - угол рассеяния. Его связь с прицельным параметром s была найдена при
решении задачи 713:
m*v* *
После подстановки (2), (3) в (1) и интегрирования по а получим выражение
для силы:
F = ^е2е'2пА ^, (4)
т v
где
А = 1"[^]. (5)
При зт оо, что соответствует неограниченному пучку,
величина А расходится. Этот результат объясняется
дальнодействующим характером ку-
лоновых сил, в результате чего с неподвижной частицей взаимодействуют
610 Глава XIV
и те частицы, которые пролетают от нее сколь угодно далеко. Фактически в
плазме любой заряд экранируется зарядами противоположного знака, поэтому
с любой частицей взаимодействуют только те частицы, которые пролетают от
нее на расстояниях, не превышающих радиуса экранировки. Для статистически
равновесной плазмы радиус экранировки был вычислен в задаче 308 (радиус
Дебая-Хюккеля):
Sm у 4тг{el2N + е2п)' ^
где еие'- заряды электронов и ионов, п и N - их концентрации.
Величина А называется кулоновым логарифмом. Пренебрегая слабой
зависимостью А от v, можно считать А = const, где const - число порядка
10.
855.
F(v) = -^е2е'2А J ^-=^/(v')(dv'), (1)
mm'
где /i = - приведенная масса.
m + m
Полезно иметь в виду следующую электростатическую аналогию: выражение (1)
можно записать в виде электрической силы F = дБ, с которой
действует на заряд q = - ^е2е'2А "электростатическое поле"
E(v) = - grad^v), (2)
где
ip(v) = J
- "электростатический потенциал", удовлетворяющий уравнению Пуассона
Av^(v) = -47r/(v).
856. Энергия пробной частицы не меняется при столкновениях с
неподвижными бесконечно тяжелыми частицами. Изменение среднего импульса
описывается уравнением
_ f=F' <"
где F - средняя сила. Ее удобно вычислять с помощью электростатической
аналогии, указанной в решении предыдущей задачи. Распределение
§ 1. Движение отдельных частиц в плазме
611
по скоростям частиц среды описывается функцией /(v) = nS(v). Поэтому
<p{v) = n/v, E(v) = nv/v3,
Р=-|?еУ2пА?, (2)
F имеет характер "силы трения", стремящейся уменьшить направленную
скорость частицы. Но это трение тем меньше, чем больше скорость частицы
(F ~ 1/и2, "падающее трение").
Интегрируя уравнение (1), найдем
v(t) = v0exp -?],
о
ТП1) "-" и
где т = -ЧгЫ------------характерное время потери частицеи направленной
47ге е пХ
скорости.
857.
О при v < Vo,
4-7ге2е'2х(- + при v > v0.
\m m / v
-4же2е'2\п(- + -Ц) ^ при v • v0 > v$,
\m m / v
47re2e'2An(- + -^7) ^ "P11 v • vo < v%.
\m m / v
858.
F =
859. На электрон, движущийся со скоростью v в среде неподвижных
однозарядных ионов, действует сила трения
р _ 47ге4пЛ у ^
(см. решение задачи 856). Отметим, что зависимость силы F от скорости
можно получить и из следующих полукачественных соображений. Сила трения
есть потеря импульса частицей в единицу времени из-за столкновений. Если
среднее время между столкновениями г, а при каждом столкновении теряется
импульс порядка полного импульса частицы mv (это означает, что в
результате столкновения электрон отклоняется на большой угол), то
(2)
612 Глава XIV
При таком столкновении электрон подходит к иону на расстояние, на котором
его кинетическая энергия - порядка потенциальной:
ч ч
mtr ^ е /Q\
2 ~ г ' W
Это приближенное равенство позволяет оценить сечение столкновения
(4)
mrv4
и среднее время между столкновениями
- ~ 1 ~ тЧЪ (5)
nvv 4тгпе4'
Л 4
Подставляя г в (2), находим F и "v> ИЛИ) учитывая тормозящий ха-
mv
ракгер силы,
рк_ 4ттеЧ (6)
mv
что отличается от (1) отсутствием кулонова логарифма Л. Но это
естественно: при оценке по формулам (2)-(5) мы не учитывали далеких
столкновений с малыми передачами импульса, вклад которых и дается
кулоновым логарифмом.
Усредним теперь формулу (1) по возможным скоростям электрона. Для этого
положим
v = u + vT, (7)
где vT - тепловая скорость, и - скорость, приобретаемая под действием
электрического поля Б. При u<g.vT можем положить в знаменателе выражения
(1) и3 и и3. В числителе же нельзя пренебречь и по сравнению с vT, так
как при усреднении по направлениям тепловой скорости получим vT = 0. В
итоге будем иметь
р= 4ТГМП (8)
где под vT теперь нужно понимать величину порядка средней тепловой
скорости. В случае распределения Максвелла v2 = ЪкТ/т. Таким образом, при
и <^vT получаем F ~ и.
При u^vT полагаем v и и и получаем
§ 1. Движение отдельных частиц в плазме
613
т. е. F ~ 1/и2. Максимуму F, очевидно, будет соответствовать значение и ~
