Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
г (2 < О) имеем I' = г + z tg д" sin в, I" =----------. Учитывая
COS и
закон преломления sin•д" = si°l? и заменяя •&' иа в, находим
у/е
<Р=У;Г- ^z\Jе - sin2 в.
Проинтегрировав (5) от -оо до 0, получим поле от диполей, лежащих в
области z < 0:
H_ = --(tm)-(l + f)-----------± . sin^l (6)
2тге<г i _ fiyje - sin2 6 r
Полное поле в точке А равно сумме Н+ + Интенсивность излуче-
ния с частотой ш в телесный угол dCl:
<И(ш,в) = А2(ш, в) sin2 9dSl,
А(и,в)= 2/?C°S<jL + (l + /)
1 - Р COS'4 в
¦е(1 - /3\Д - sin2 в) * ^cos^
• (7)
Величина А зависит от частоты через e(w).
В нерелятивистском пределе /3 <С 1 получаем
е2и2 (е - I)2 sin2 ^cos2 в
ж2(? (е cos в + у/? - sin2 в)2
dl(ut, в) = • --------- dil. (8)
Глава XIV ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
§ 1. Движение отдельных частиц в плазме
844. <М0) = ^--------------------,^=2Г*+А?-2 _ H(lLli)m2c4.
v ' 2 [i + (n-l)cos2tf]3/2 3 0 3
В нерелятивистском случае имеем для средней кинетической энергии Т в
конечном состоянии
Тг 2п + 1 гг гг Ро
Т=-3~г°' = 2т'
845. Для вычисления v^, нужно найти добавку к скорости частицы,
обусловленную наличием градиента поля Vi/ и усредненную по циклотронному
периоду вращения. Запишем уравнения движения для поперечной скорости
частицы vi:
dv±. еН г
dt mc
[v± X h], (1)
Здесь h - единичный вектор в направлении магнитного поля. В уравнение
входит Н(т) - значение поля в точке, где находится частица. Представим
его в виде
Я(г) = Я(К) + (г • V#), (2)
где R - радиус-вектор ведущего центра, г - радиус-вектор частицы,
отсчитываемый от положения ведущего центра. В первом приближении можно
считать, что ведущий центр не испытывает поперечных смещений за время
одного оборота частицы. Подставив (2) в (1), получим уравнение движения
вида
^v±_______w оЛ I г • УЯ\ /0\
§ 1. Движение отдельных частиц в плазме 607
. на две с поле и малую добавку vi:
Разложим v_l на две составляющие - скорость vq = в однородном
V.L = V0 + Vi.
В поправочном члене уравнения (3) можно заменить величины vj_ и г на vq и
го - Учитывая, что
^=v0xn, (4)
получим для vi уравнение
^=[vi+v0(r0-Vff)]xJl. (5)
Усредним обе части этого уравнения по периоду вращения частицы. При
усреднении производной dv\/dt получим
dvl vi(t + T)-vi(T) _ dt Т
с точностью до членов первого порядка по малой величине УЯ. Усредняя
правую часть, найдем
Vd = vi = -v0(r0 • VH). (6)
Величины vo и го соответствуют движению частицы в однородном поле и могут
быть получены из уравнения (4). Их можно выбрать в виде
го = -R±(eisinfif + егсовШ), v0 = uj.ro х h, (7)
где ei и ег - орты, перпендикулярные h и друг другу. Проведя усреднение,
получим формулу, приведенную в условии задачи.
846. Адиабатическим инвариантом для релятивистской частицы является
величина 7 и, где 7 = * -, и = piVi/2 Я - магнитный момент.
у/1 - v*/<?
Если кинетическая энергия частицы сохраняется, то 7 = const и ц = const.
Последнее соотношение выполняется для нерелятивистской частицы, у которой
7 и 1, и в том случае, когда ее энергия не сохраняется.
Р± V\
847. F = -/х • VH, где /х = h - магнитный момент, созда-
2/1
ваемый вращением частицы. Это выражение совпадает с правой частью
уравнения (XTV.2), если в ней положить Б = 0, так как из уравнения
Максвелла div Н = 0 следует Я div h = -h • УЯ.
608
Глава XIV
848. sint? > у/Н/Нт.
849. R = l-H/Hm.
850. г = гоу/Но/Н,
где го - расстояние ведущего центра до оси ловушки в поле Но, г -
расстояние после изменения поля до величины Я. Возрастание поля вызывает
сжатие плазмы к оси ловушки.
2са
851. Ведущий центр перейдет на силовую линию г = 1,<р =----------.
Hv\\l
852. Ведущий центр протона движется равномерно по окружности радиуса г =
2г" лежащей в плоскости экватора, с угловой скоростью
3 cg З'утМ
Ud ец,г efj, '
где 7 - гравитационная постоянная; R > 226 км, Т и 14,9 сек.
853. а) Из уравнения (XTV.1), вычисляя произведения [h х VЯ] и [h х (h •
V)h] для поля магнитного диполя, находим, что движение поперек магнитных
силовых линий сводится к азимутальному дрейфу, при котором расстояние до
центра Земли и широтный угол не меняются. Кроме того, ведущий центр
движется вдоль силовой линии, уравнение которой имеет вид
г = го cos2 А, (1)
где го расстояние в экваториальной плоскости от силовой линии до центра.
При этом энергия частицы остается постоянной вследствие пренебрежения
гравитационным полем.
Используя известные выражения для напряженности поля магнитного диполя, а
также уравнения (XIV. 1), (1) и (XTV.5), находим угловую скорость
азимутального дрейфа.
(vd)a Zcpvro sin2 а 1 + sin2 А
LJd = -- = -¦
cos3 A(3 sin2 A + 1)
cpvro cos3 A(3 sin3 A - 1) e^ (3sin2 A + l)2 '
(2)
Здесь p и v - импульс и скорость протона.
§ 1. Движение отдельных частиц в плазме 609
б) С помощью уравнения (XTV.S) находим условие, определяющее Ат > 0;
cos6 Ат . 2
-----------------= sin а.
\/ 3 sin2 Ат + 1
Частицы движутся в области - Ат < А < Ат.
в) Протон достигает поверхности Земли при условии
Го cos2 Ат < Г,,
где г* - радиус земного шара.
