Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
будут давать отдельные точки, в которых знаменатель подынтегрального
выражения ео - х2 обращается в нуль: х = ±^/ёо. Поскольку интегрирование
в (1) ведется по значениям х > 0, нужно рассмотреть один полюс х = у/ёо >
1. Если пренебречь потерями, то этот полюс окажется на вещественной оси.
При учете потерь, как легко видеть из явного выражения е(и) (см. (VI.
12), он переместится в нижнюю полуплоскость комплексной переменной о;)1.
Чтобы получить правильное значение интеграла, нужно или ввести параметр
затухания и после вычисления интеграла устремить этот параметр к нулю,
или слегка деформировать путь интегрирования, произведя обход вокруг
полюса по окружности бесконечно малого
1Это находится в соответствии с общей теоремой о том, что e(ut) не имеет
нулей в верхней полуплоскости (см. [66], §62).
598 Глава XIII
радиуса в верхней полуплоскости. Используем второй способ. Обозначив
интегрирование по указанной полуокружности значком получим
/
?о -х2
.1 -?о шоау/ёо /шоС1у/ёо\ /шоау/ёо\ = г---
(3)
Теперь вычислим интеграл по области, в которой s чисто мнимо. Для этого
заметим, что при чисто мнимом аргументе цилиндрические функции Ко и К\
связаны зависимостью
s*aKi(s*a)Ko(sa) - saKi(sa)Ko(s*a) = г
которая следует из свойств вронскиана системы решений уравнения Бесселя
(см. [68], § 5.9). Поэтому
Re* / (--^ - 02)s*aKi(s*a)Ko(sa)xdx =
J >
а3<0
(4)
s2<0
Последний интеграл вычисляется элементарными методами. Пределы
интегрирования выбираются так, как указано выше.
Подставляя (3) и (4) в (1), получим при v < -%=
y/So
_dS = 2тг e4N dl mv2
и при v > -р=: у/ео
2а^а,(5^) - & ~ i"(i - ?)
(5)
dS_ = 2тг e4N dl mv2
2аи>оу/ёо /аи>оу/ёо\ /аи>оу/?о\
-v-----ко{-------v-----------------v----)-
<ГЛ
¦ (6)
1_^+1п г"
?о - 1 ?о
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществам 599
Та часть полных потерь, которая не исчезает при а -> оо (члены, не
содержащие а в (5) и (6)), представляет собой потери энергии на излучение
поперечных волн (эффект Вавилова-Черенкова):
"(f),-, = 1,1(1 -Р" (7а>
(d,S\ _ e2uJl ( I-/?2 , , ео \ . с
(rfZ )в-ч- ^вч 2и2 V е0-1 ео-l) ^
(76)
Выражение (76) было получено в задаче 828.
Члены с Ко, К\ в (5) и (6), зависящие от а, возникли в результате обхода
полюса в точке lj = П = + u>2, в которой ? обращается в нуль. Но
при таких частотах возбуждаются продольные колебания (см. задачу 443),
поэтому выражение
описывает потери на возбуждение продольных колебаний (поляризационные
потери). При ^ С 1 формула (8) принимает простой вид (см. П3.6):
(d§\ _ . v /0ч
\dl) пол v2 Па' ^
При 1 величина - () становится очень малой (она пропорцио-
V \ dl / ПОЛ V
Па v
нальна е v J. Это показывает, что влияние поляризации среды при малых
скоростях мало.
Изложенный в этой задаче макроскопический метод расчета потерь
принадлежит Ферми (1940 г.).
839.
(ч
_ LOnCi Л -
Если параметр -<С 1, что имеет место при достаточно большой скорости
частицы, то можно использовать приближенные формулы
600
Глава XIII
для Кп (П3.6). При этом (1) переходит в
2v
е2о>1
dl
In
V
7 WpO'
(2)
Как следует из формул (1), (2), потери частицы существенно зависят от
величины и>р. Она представляет собою частоту продольных плазменных
колебаний (см. задачу 443).
Излучения Вавилова -Черенкова
в плазме не возникает, так как при всех частотах е(ш) < 1 и условие
излучения /?2е > 1 не выполняется (но черенков-ское излучение становится
возможным, если плазма находится в магнитном поле).
При квантовомеханическом рассмотрении возбуждение плазменных колебаний
эквивалентно возникновению некоторых дискретных элементарных возбуждений
(квазичастиц - "плазмонов"). Энергия каждого плазмона равна tkjp, где Й =
1,05 • 10-27 эрг • сек - постоянная Планка. Для металлов величина tkjp
лежит в пределах от 5 до 30 эв. Таким образом, при возбуждении плазменных
колебаний частица теряет энергию дискретными порциями. Изучение этих
дискретных (или характеристических) потерь энергии позволяет получать
ценные сведения о свойствах твердых тел.
Рис. 132
840. Разложим плотность тока (рис. 132):
- evS(z - vt)S(x)S(y) при evS(z + vt)S(x)S(y) при
z>0, z < 0
в интеграл Фурье по времени:
3 = J Зше-**
dt, ju = <
- %vZS(x)S(y) при z^0,
- ¦?-e+tvZ8(x)8(y) при z < 0. 2/К
Введем вектор поляризации согласно (X1I.9):
р ___________
г '
ifjj
(1)
(2)
(3)
Вектор Рш направлен по оси z.
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществам 601
Формулы (2) и (3) показывают, что плотность заряда и плотность тока,
создаваемые движущейся частицей, эквивалентны набору гармонических
осцилляторов, распределенных в пространстве по закону
при О 0, ы (4)
-^j^vZ8(x)S{y) при 2^0.
Наличие S(x)S(y) в (4) означает, что фактически осцилляторы находятся
только на линии движения заряда.
Осцилляторы, находящиеся на отрезке dz, создадут в точке М волновой зоны
магнитное поле (см. рис. 132):
Шш = -(Ры х R) dz = ~^^Ри sin tiea dz. (5)
(rRj <rR
Интегрируя (5) no z, получим полное поле:
