Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
для волн
с частотой ш). При /Зп(и) > 1 s будет чисто мнимым.
Если s - вещественная величина (в силу (2), при этом s > 0), то в
волновой зоне поле будет затухать экспоненциально, излучения не
происходит. При чисто мнимом s амплитуда полей в волновой зоне будет
меняться как 1/у/г, что соответствует цилиндрическим волнам. Покажем, что
эти волны будут расходящимися, т. е. в этом случае действительно будет
происходить излучение.
Запишем s в виде
S = ±^\jj5 " ?И = Щгьу/0^^1 (4)
и выясним, какой знак нужно выбрать перед корнем. Для этого нужно принять
во внимание, что рассматриваемый диэлектрик без потерь является
предельным случаем слабо поглощающего диэлектрика с комплексным
показателем преломления п = п' + in". Чтобы мнимая часть показателя
преломления п" действительно описывала поглощение энергии (т. е. чтобы
амплитуда соответствующей волны затухала, а не возрастала), требуется
592
Глава XIII
выполнение условий п" > 0 при и > 0 и п" < 0 при из < 0. Считая п" весьма
малым, можем записать
у//32(п' + m")2 - 1 и у//32п'2 - 1 f 1 + г ^ П-).
' р*п* - 1 >
Отсюда следует, что условие Res > 0 будет выполняться, если выбрать в (4)
знак минус. Устремив после этого п" к нулю, получим
s = -imy/02n2_ 1. (5)
Но такой знак как раз соответствует расходящимся волнам, так как
экспоненциальный множитель в выражениях (1) примет вид
ехрг(к • R - art) = expi[k(zcos6 + rsin0) - art], (6)
где к =
к = тгП, cos в = sind = , 1----------гЦг, к cos в = к, = Ли и к sin в =
с у /Зп 11
= к± - компоненты волнового вектора.
Таким образом, при выполнении условия 0п(ш) > 1 частица, движущаяся в
диэлектрике с постоянной скоростью v = 0с, излучает электромагнитные
волны с частотой из (излучение Вавилова-Черенкова). Условие 0п> 1
означает, что скорость частицы должна превосходить фазовую скорость волны
с частотой из в данной среде. Как следует из выражения для волнового
вектора к, излучение направлено под углом в к скорости частицы, причем
= ш- <7)
Эта характерная направленность излучения является следствием
когерентности волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории
(см. задачу 829).
Фазовая скорость волн Вавилова-Черенкова
О) с vv = с = п
- такая же, как у всех поперечных электромагнитных волн. Поляризацию
излучения легко определить из формул (1): вектор Н направлен
перпендикулярно плоскости, проходящей через траекторию частицы и волновой
вектор к, а вектор Б лежит в указанной плоскости (и перпендикулярен к в
волновой зоне). В перпендикулярности к и Б можно убедиться, вычислив
скалярное произведение к • Ew.
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществам 593
Полная энергия черенковского излучения ыв_ч на единице пути равна
интегралу по времени от потока вектора Пойнтинга через бесконечно
удаленную цилиндрическую поверхность единичной длины, окружающую
траекторию частицы:
Используя формулу, приведенную на стр. 572, можно представить (8) в виде
где монохроматические компоненты НШ1р, Ewz должны быть взяты в волновой
зоне, а интегрирование ведется по области частот, в которой выполняется
условие излучения (Зп(ш) > 1. С помощью формул (1)-(3) находим
окончательно:
829. Каждую точку траектории можно рассматривать как источник
элементарного возбуждения, распространяющегося в виде сферической волны
со скоростью v,p = ? (рис. 131). Фронт результирующей волны представляет
собой огибающую элементарных сферических волн. Нормаль к фронту
составляет с траекторией угол в, причем, как следует из рисунка, cos в =
-J-.
(эп
830. Поле равномерно движущейся заряженной частицы представляет собой
суперпозицию плоских волн с частотами из = к • v, где v скорость частицы,
к - волновой вектор (см. задачу 810). В неограниченном
ОО ОО
а;в_ч = 2ят J ^(Е х H)rdt = -у J H^Ezdt. (8)
- ОО
-ОО
(9)
/Зп(и>)>1
(10)
/Зп(и>)>1
828. wb-ч = -§-{02 - 1) + --тг(?о - 1) In ?° . При указанных
2v 2v ео - 1
,2
2v2
в условии задачи значениях параметров а;В-ч ~ 5000эв/см. Излучение
сконцентрировано в интервале углов
0о ^ в ^
594
Глава XIII
диэлектрике возможны колебания с ча-
kf*
стотами w = где п - показатель преломления среды (собственные колебания
среды). Из условия резонанса
к • v = kvcosO
кс
п
Рис. 131 raecosfl = ^,ив_ч
следует, что cos в = -. Так как cos 0^1, то ш ^ 1, а это и есть условие
существования излучения Вавилова-Черенкова.
831. г = | tg2 в, I = а>в _ чг> ctg2 в,
энергия черенковского излучения на единице длины, вычисленная в задаче
827.
833. При /Зп < 1 (т. е. при v < v9)
Ч> =
?у/ (Z - Vt)2 + Г2(1 - /32П2)
(1)
Это выражение получается таким же путем, как в задаче 811.
При f3n > 1 метод, примененный в задаче 811, не может быть использован,
так как подынтегральное выражение в этом случае будет иметь
2 (к • v)2 полюс при К = ?(1,---.
с
Введя в пространстве к цилиндрические координаты, запишем <р в виде
о f oikz(z-vt)-\-ik^_r cos а
кЦ0'п' -1)
к± dk± dkz da.
Для вычисления интеграла по kz воспользуемся теоремой о вычетах.
