Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Зависимость е от к объясняется тем, что ток в некоторой точке создается
частицами, приходящими из соседних областей, поле в которых не равно полю
в рассматриваемой точке. Пространственная неоднородность поля вместе с
тепловым движением частиц и приводят к пространственной дисперсии
диэлектрической проницаемости.
Поведение резонансных (к • vo = ш) частиц рассмотрено в этой задаче
недостаточно корректно, в связи с чем при расчете утеряна малая мнимая
часть ец, которая описывает передачу энергии от волны к частицам
(затухание Ландау, которое существует даже в бесстолкновительной плазме).
622 Глава XIV
oJn 3&uj? qj 3uj?
870. vv = 4- и vg = u^-k. В отсутствие теплового
движения vg = 0. Таким образом, плазменные колебания распространяются в
результате переноса электромагнитной энергии частицами.
871. а) р(г, t) = р(г, 0) cos wpt,
6Мх,() = -**]}•
о vf.
где /? = в случае б), кроме плазменных колебаний плотности заряда с
частотой шр, происходит его релаксация из-за теплового движения частиц,
р(х, t) = 0 при t -> оо.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. 5-ФУНКЦИЯ
5-функция Дирака определяется равенствами:
.1
xi ч I ~ при хфа,
д(х - а) = < (П 1.1)
1 оо при х = а;
1°с
Js(x - a)dx= 1. (П1.2)
л
Интегрирование в (П 1.2) выполняется по промежутку А произвольной длины,
содержащему внутри себя точку а.
5-функция удовлетворяет следующим соотношениям:
<5(х) = 5(-х), (П1.3)
J f(x)5(x - a)dx = f(a), (П1.4)
A
6(ax) = -V(x), (П 1.5)
|a|
где f(x) - непрерывная функция.
Трехмерная J-функция определяется аналогичными соотношениями:
5(т - а) = 5(х - ах)5(у - ay)S(z - az) = Г ^ а' (П1.6)
^ оо при г = а;
J \ 0, если а вне объема V.
А
Здесь /(г) - непрерывная функция.
1 Математически корректное определение й-функцин требует обобщения
обычного понятия функции (см.: И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов "Обобщенные
функции и действия над ними", т. I, Физматгиз, 1958; В. С. Владимиров
"Уравнения математической физики", "Наука", 1967). (5-функция относится к
классу сингулярных обобщенных функций.
Рис. 135
Приложения
С помощью 5-функции можно описывать распределение в пространстве заряда
точечной частицы. Объемная плотность такого распределения
р(г) = е8{т - а), (П 1.8)
где е - заряд частицы, а - радиус-вектор точки, в которой находится
частица.
Можно определить также производную от J-функции. Точный ее смысл
содержится в формуле
jm
dS(x - а) дх
dx ¦¦
df(a) да '
(П1-9)
которая получается интегрированием по частям. Аналогично определяются
производные высших порядков:
J
х - a) dx = (-l)n/n(a). (П1.10)
Сама (5-функция может рассматриваться как производная от функции,
испытывающей в некоторой точке а конечный скачок 6. Если /(а + 0) - /(а -
0) = 6, то
Q /
= Ь5(х - а) + ограниченная функция.
(П 1.11)
Наглядное представление о (5-функции и ее производных можно получить,
рассматривая график некоторой непрерывной функции 5(х - а,а), такой что /
5(х - a, a) dx = 1 (рис. 135). Параметр а характеризует ши-А
рину промежутка, в котором J(x - a, а) отлична от нуля. J-функция и ее
производные определяются как пределы:
J(x - а) = lim J(x - a, a),
a->0
dS(x - a) dx
lim
a-"0
dS(x - a, a) dx
и т.д.
1. S-функция
625
Свойства ^-функции приобретают многие несингулярные функции, зависящие от
параметра, при определенных предельных значениях этого параметра.
Например:
Легко убедиться в том, что любое из представлений (П 1.12-П 1.14')
согласуется со всеми определениями (П 1.1-П 1.5), а также с определением
(П 1.9) производной от ^-функции. При вычислении интегралов вида f
f(x)S(x -
- a) dx с помощью представлений типа (П 1.12-П 1.14) нужно иметь в
виду, что предельный переход должен производиться после выполнения
интегрирования, например при использовании (П 1.12):
Путем рассмотрения интеграла Фурье (или с помощью представления (П 1.13))
можно получить еще одно полезное представление J-функции:
К J-функции близки две другие обобщенные функции <5+(х) и ё_ (х). Они
определяются равенствами, сходными с (П 1.15):
6(х) = lim - •
пт-----------г------
"-*0 7Г а + х
(П 1.12)
(П1.13)
(П 1.14)
При кип целых
(П 1.14')
ОО
ОО
(П 1.15)
-ОО
0
оо
(П1.16)
о
Функции 8+ и ё- связаны с ^-функцией соотношениями
(П 1.17)
626
Приложения
так что 5{х) = 5+(х) + 5_(х). Символ Р1 в формуле (П 1.17) представляет
шавное значение интеграла:
(12
J f(x)S±(х - a) dx = ±/(а) ± J ^ dx =
ai ai
а-с a2
= Ъ(а) ± f lim [ j !^-dx+ [
2 v ' 27t?-о[у x-a J x-a '
ai a+e
где ai < a < 02, ? > 0.
Если аргумент 5-функции является однозначной функцией независимой
переменной х, то имеет место формула
%(*)] = ? - ai>' (п Ы8> где Qi - корни уравнения ip(x) = 0.
2. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Сферическая функция порядка I, т, зависящая от полярных углов $, а,
определяется формулой:
Ylm(0,a) = • |_g|pim(cosi9)eim", (П2.1)
в которой целые числа I, т удовлетворяют условиям I ^ 0, - I ^ т ^ I; 6т
= (-1)ш при т ^ 0, 6т = 1 при тп < 0. Через Pim обозначен присоединенный
полином Лежандра
