Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
г>т; при этом обе формулы (8) и (9) дадут одинаковое значение
mvr
(10)
Примерный ход функции F(u) представлен на рис. 134.
Рис. 134
Если поле в плазме Е < Fmax/e = Ed,1 то сила торможения при
некотором значении и, удовлетворяющем равенству F(u) = еЕ, превысит
ускоряющую электрическую силу еЕ, и электроны не смогут больше
ускоряться. Это - область значений поля Е, при которых имеет место
обычный закон Ома. В случае Е > Ео ускоряющая сила превышает торможение,
и электроны получают возможность ускоряться неограниченно2. Это явление
получило название "убегающих электронов".
Подставляя v2 = ЗкТ/т в формулу (10), получим
Е° = Ш' * = 4^- (11>
Точный расчет для этого же случая дает ([28], в. 1)
Ed = 0,214^. (12)
Наша порядковая оценка дала результат, близкий к точному значению.
'Критическое значение поля Е = Ed называется драйсеровским.
2В действительности из-за коллективных эффектов электронный газ как целое
не ускоряется, его сопротивление может даже возрастать.
614
Глава XIV
§ 2. Коллективные движения в плазме
860. Естественно предположить, что скорость движения жидкости направлена
вдоль оси z и зависит только от поперечной координаты х. Поскольку
движущаяся проводящая жидкость увлекает за собой силовые линии магнитного
поля, то при движении должна возникнуть продольная составляющая
магнитного поля Hz(x). Таким образом, неизвестные функции v и Н ищем в
виде v(0,0, и(я)); Н(#о,0, Hz(x)); при этом уравнения (XTV.9), (XIV. 10)
удовлетворяются тождественно. Уравнения (XIV.7), (XIV.8) принимают
следующий вид:
dv с2 d?Hz
dx АжаН0 dx2 '
?v=H±dHz = l±( ,IP\ m
dx2 4тгг] dx Г) dz\ 8тг)'
<3>
zj2
Из последнего равенства следует, что р + зависит только от z. Но
о7Г
&{р + fr) = l = const' <4>
так как Н2/8п от z не зависит. Поэтому равенства (1) и (2) представляют
собой систему обыкновенных линейных уравнений для определения неизвестных
функций v(x), НЛх). Исключая из них получим уравнение
ах
относительно и = 4^:
ах
dx2 х2 ' Но\ (5)
из которого следует
и = х0(Лехр[^]-Sexp[-^]) +С. (6)
Граничные условия имеют вид и(±а) = 0, так как вязкая жидкость у стенки
неподвижна. Кроме того, из соображений симметрии следует v(x) = v(-x).
§2. Коллективные движения в плазме 615
Из граничных условий и (6) находим
ch ^- ch
/ \ х° х° ,-1 "(*) = "ь------, (7)
5о -
где vo - новая постоянная, имеющая смысл скорости в средней плоскости х =
0. vo можно выразить через градиент давления:
. axncba~1dp
щ=~-<8)
Хо
Магнитное поле определяется из (2), (7) и граничных условий Hz(±a) = 0:
Апг) _ (l)sh^-sh^
Нж(х) =-----c-y/arjv о---------------------------------- -. (9)
^xS-1
Отношение а/х о = М называется числом Гартмана. При М с 1 имеем
a2 dp / ~2>
Ч)
-ТЕ- (""
как в обычной гидродинамике. Магнитное поле Hz = 0 в первом порядке по
числу Гартмана. Продольное поле Hz появляется только в следующих
приближениях.
В противоположном предельном случае М " 1 получаем
" a2 dP-
0 г)М dz '
v(x) =t>0(l-exp XqX ]). (11)
Сравнение (10) с (11) показывает, что средняя скорость движения
уменьшается с ростом Но, а профиль скоростей становится более плоским в
средней части потока, но резко меняется в слое толщиной хо у стенок.
Продольное магнитное поле в этом пределе имеет вид
Я,(х) = ^^(г-ехpf-S-Ui). (12)
см dz\a L xoJ xo/
Как видно из формулы, оно убывает с ростом числа Гартмана. Наибольшую
величину Hz имеет при Ми 1.
616 Глава XIV
Плотность тока в движущейся жидкости вычисляется из уравнения
Максвелла j = -f- rot Н. Отлична от нуля только у-компонента тока:
4тг
ch?
Создаваемое им магнитное поле Hz равно нулю всюду вне области, занятой
жидкостью. Там остается только поперечное поле Hq.
sh sh
861. v(x) = vo--. Плотность тока j(x) = °^v°-fl. Этот ток
sh HoxQ sh JL
Xo Xo
создает магнитное поле
тт , , 4irr)Vo xo _ xo
Hz(x) = -rrrt-------------------,
Hoxo sh -
Xo
обращающееся в нуль при |ж| ^ а.
862. Магнитное поле имеет одну проекцию
Г
Hv = H(r) = ^- j rj(r)dr.
о
Интегрируя уравнение движения (XTV.7) с граничным условием р|г>д= = 0,
находим
(1)
г
ж г
где Н = Щ f rj(r) dr при г < а, Н = 2J/сг при г > а.
о
Чтобы связать силу тока J с Т и N, полагаем р = 2п(г)кТ, где к -
постоянная Больцмана, и интегрируем обе части (1) по площади поперечного
сечения столба плазмы. Получим
J = 2с\! NkT. (2)
При Т и 108 °К и N и 1015 частица/см3 (значения, характерные для
термоядерных исследований) имеем
J = 7,5-104 а.
§2. Коллективные движения в плазме 617
863. Ток должен течь по тонкому поверхностному слою. Тогда внутри столба
будет постоянное давление
Р =
2ж<?а2
864. Беря проекцию уравнения (XIV. 12) на ось г и подставляя v = v =
const, получим уравнение для определения Нг:
дНг 2и тт /•п
ИГ Т г~ ~дгг' (1)
Решение этого уравнения выражается через произвольную функцию F от
аргументов г - vt, А а а:
Яг(г, ¦&, а) = \F(r - vt, ¦&, а). (2)
Граничное условие имеет вид
Нг\ _ = Наг($,(х + Ш) = \F(a - vti'diOi) (3)
I г-а аz
(аргумент а-Шу Ног написан в связи с переходом в неподвижную систему
