Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
М иЫр (х)
Plm(x) = (l-x*)* (П2.2)
6 6
1 Часто вместо обозначения Р f используют обозначение -f.
2. Сферические функции лежандра 627
где Pi(x) - обычный полином Лежандра. Он совпадает с Pim(x) при т = 0:
1 dl(x2 - 1)*
(П2.3)
Присоединенные полиномы Лежандра удовлетворяют дифференциальному
уравнению
d_
dx
& -+ ['(' + ч - = °-
(П2.4)
Приведем некоторые формулы, полезные при работе со сферическими
функциями:
= ]/^Г6т0' = (-1)г^т(тг-19,7г + а),
¦4(1) = 1, Р2п(0) = (-1)
n (2п - 1)!! , (2п)!! '
¦f*2n+1 (0) = 0;
(I + l)Pj+i(x) = (21 +1 )xPi(x) - IPi-i(x),' (x2 - l)dP^ = l[xPi(x) - Pj-
l(^)]-Сферические функции с I = 0, 1,2 имеют вид:
Г°0 = ^' -Д-Y^ = *\[is(tm)*e±ia' Y2° = \[i-*cos2'?~1>
(П2.5) (П 2.6)
47Г
> (П2.7)
У2г±1 = T^sintfcostfe^, Y2,±2 = ^sin2*e-
Сферические функции образуют на поверхности сферы полную орто-
нормированную систему функций от д, а. Это означает, что
'&ттЧ
(П2.8)
'Символом гг!! обозначено произведение всех последовательных целых чисел,
имеющих ту же четность, что и п, от 2 до п при п четном и от 1 до п при п
нечетном.
628 Приложения
где d?l = sin tid'd da - элемент телесного угпа, и что произвольная
функция от ti, а с интегрируемым квадратом модуля может быть разложена в
ряд
f(ti, а) = а)- (П 2.9)
i,m
Коэффициенты <цт определяются формулами
&1т = />=•<*. a)f(ti,a)dn. (П2.10)
Функции вида r_i_1Yjm(i9, а) и rlYim(ti, а) называют шаровыми
гармониками. Легко проверить с помощью (П2.4), что шаровые гармоники
являются частными решениями уравнения Лапласа во всех точках, кроме г =
0:
Д[ггУ|т(,9, а)] = 0. (П 2.11)
Решением уравнения Лапласа является также суперпозиция шаровых гармоник с
произвольными коэффициентами
оо I
?> = 53 53 (агтГ 1 1 +bimrl)Yim(ti,a). (П 2.12)
1=0 7П= - 1
Если г(г, ti, а) и г '(г', ti', а') - радиусы-векторы двух точек
пространства, причем г > г' (см. рис. 7), то
11 1
R |г - г'| у/г"1 - 2rr'cos7 + г'2 г=0 гг+1
Функция 1/R называется производящей функцией для полиномов Лежандра.
Имеет место следующая теорема сложения для сферических функций:
i
Рг(с087) = 2ГТТ ^ Ylm(4,<*)??"(#,а/). (П2.14)
m=-l
Углы ti, а и ti', а' входят в (П2.14) вполне симметричным образом.
Подстановка (П2.14) в (П2.13) приводит к разложению:
о° г f[
jTTTj = (2l + iy^Y'Ma)Y'^''a% (П2Л5)
3. Цилиндрические функции 629
Из формулы (П2.13) следует (если положить у- = разложение:
°° ( 1 ^
1 ='/2У|!~^|{|^и1111|). (П2.16)
\/ch ? - cos г)
3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Цилиндрические функции Zp(kx) являются решениями уравнения Бес-
селя
ТТ + - ^ + (k2-^)z = 0. (П3.1)
dx xr dx \ x1 '
Решение, которое при р > 0 ограничено в точке г = 0, называется
цилиндрической функцией первого рода (или функцией Бесселя):
¦w-gg(-. >vMr?:t+1)- <п">
Так как в уравнение (П3.1) входит р2, то J_p также является решением
этого уравнения. То же относится к любой линейной комбинации Jp и J_p.
Цилиндрическая функция второго рода (функция Неймана)1 определяется
следующим образом:
И JJx) cosрк - J-"(x) , "
= _pw-----У------pw пзз
Sinp7T V
Часто употребляются также цилиндрические функции третьего рода (функции
Ханкеля):
Щ'Чх) = JP(x) + гЛГ"(х),1 )¦/
Щ2ЧХ) = Jp(x) - iNp(x).
В качестве общего решения уравнения Бесселя может быть взята линейная
комбинация с произвольными коэффициентами любых двух линейно независимых
цилиндрических функций. Такими функциями являются, в частности, Jp(x) и
J-P(x), если р не равно целому числу. При р = п,
'Эту функцию называют иногда функцией Вебера и обозначают Yp(x).
630
Приложения
где п - целое, функции Jn(x) и J_n(x) = (-l)nJn(x) линейно зависимы, и
тогда в качестве общего решения можно взять, например, линейную
комбинацию Jn и Nn.
Цилиндрические функции от чисто мнимого аргумента называются
модифицированными функциями Бесселя. При целом п они определяются
равенствами:
In(x) = i~nJn(ix), Кп(х) = lin+1HW(ix). (П 3.5)
Функция Кп(х) называется функцией Макдональда.
В физических задачах часто требуется знать приближенный вид
цилиндрических функций при малых и больших значениях аргумента. При |х|
<С 1 имеем:
Мх)
J0(x)
Nn(x)
N0(x)
2рГ(р+ 1)'
4 '
x
x
2"nT
2
(*e)
2nn!'
4 '
7ГХ
I inf, ад" in^,
(П3.6)
где n ^ 1, In 7 = 0,5772.
Выражения для функций Ханкеля при |х| 1 могут быть получены
из (П3.6) с помощью (П3.4). В частности,
Hq1,2\x) И 1 ± |lnf = ±|ln(^). (П3.7)
Асимптотические выражения для цилиндрических функций (1*1 >1):
Jp(x) р
ад я
HW я
1п(х) р "/ш' к"[х) ~ (-1
(П3.8)
3. Цилиндрические функции
631
Между функциями Jp, Np и Нр1'2^ (общий символ Zp), а также 1п, Кп
существуют следующие соотношения:
Zp-\{x) + Zp+\{x) - х Zp{x),
Zp-i(x) - Zp+\{x) = 2Zp(x), Zq(x) = -Zi(x);^
2p
Ip-l(x) - /p+i(x) = -grlp(x), Ip-\(x) - /p+i(x) = 2Ip(x),
Kp-^x) - Kp+1(x) = ~^Kp(x),
Kp^ix) + Kp+1(x) =-2K'p(x).
Функции Бесселя могут быть представлены в виде интегралов
(П3.9)
> (П3.10)
а+2п
а+2тг
Jn(x) = J- J ei(xsin<p-nv) d(p = j ei(xcos4>-n<p)d(f' (П3.11)
a a
где a - любое вещественное число.
