Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
(главное отличие от механики состоит в том, что поле представляет собой
систему с бесконечным числом степеней свободы). Эта аналогия позволяет
применять формальные методы квантовой механики к решению задач квантовой
электродинамики.
818.
А(М) = -^= J^ekA[QkA(*)cosk-r - iQkA(i)sink-r (dk),
E(r, t) =---^2 ekA [QkA cosk • г + wQk\ sink • r] (dk),
7Г \/2 J ^
H(r,t) =-----^ J^(k x ekA)[QkAsink-r + ^QkAcosk-r (dk).
При выводе выражения для E(r, t) мы использовали то обстоятельство, что
координаты QkA удовлетворяют уравнению
QkX + WkQkA = 0.
Выражение энергии поля проще всего получить из формулы (8) предыдущей
задачи, выразив входящие в нее коэффициенты акА и а?л через QkA и Qk\\
акА = ^Qk\eiUt + 2~QkAeiU,t,
Отсюда
584
Глава XII
Из последней формулы видно, что энергия свободного электромагнитного поля
представляется в виде суммы энергий осцилляторов поля, имеющих в точности
такой же вид, как в случае механической колебательной системы:
W = J Y^WMidk), (9)
где WkA = liQlx+ulQlx)-
Вычисление импульса поля G дает:
g = /E>^?" = s;/e *"<*>•
Импульс отдельного осциллятора GkA связан с его энергией формулой
СкА = ^. (10)
Такой же формулой выражается связь энергии с импульсом в случае частиц,
движущихся со скоростью света в направлении к (фотоны!).
819. Записав уравнения, приведенные в решении задачи 807, и умножая их
на е?Л, получим для поперечной части потенциала Ак(t):
<ikx(t) + Lulqkxit) = FkX(t), (1)
где
Fkx{t) = [ekA ' v(?)]e-ik'ro(t), (2)
а го (t) - радиус-вектор частицы в момент времени t, v - ее скорость в
этот же момент времени. В нерелятивистском случае
тго = F + еЕ(го), (3)
где т - масса частицы, F - действующая на частицу сила неэлекгромаг-
нитного происхождения,
Е(г0) =------/ ekA<7kAetk'ro(<fk) (4)
7гу2 J
- напряженность поля излучения в той точке, где находится частица. Мы
не учитываем силу, действующую на частицу со стороны магнитного поля, так
как предполагается, что о<с. Уравнение (1) представляет собой уравнение
вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы Fkx(t).
Движение частицы и электромагнитного поля, взаимодействующих между собой,
описывается системой уравнений (1), (3).
§4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны 585
820. Изменение энергии одного осциллятора:
^ = |№лйл + ^кл9кл).
Скорость изменения энергии поля:
^ = \J (ЪМм + FCM(dk).
821. Сила Fk\(t) в данном случае принимает вид
Fk\(t) = Ькл cosu0t,
где
bk\ = -^(vo • екЛ), v0 = w0r0
7tv2
(для простоты рассматриваем линейно поляризованные осцилляторы поля, так
что орты екд - вещественны). Интегрируя уравнение (1) задачи 819,
получаем
^ o(CQS^01 ~ COS Ubt), u)l ~U)%
если в начальный момент времени t = 0 осцилляторы поля не были
возбуждены. Это значение дъл подставим в выражение для скорости изменения
энергии поля излучения , найденное в задаче 820:
dWkx %х , . .ч
-(о;к coswot sino;ki - uq cosuot sinwot).
dt
Интегрируя последнее выражение no t от 0 до t, получим количество
энергии, переданное частицей за время t осциллятору поля (к, Л):
t
Г
VPkx=
at wt - Ып
о
1 - cos(o;k + CJq )t
2 Wk + ^0
wk 1 - cos(wk - ujq )t ujq 1 - cos 2wo t
2 wk - uq 4 wo
586
Глава XII
При = ljq и t -у оо второй член в скобках очень велик по сравнению с
первым и третьим членами. Возбуждение осцилляторов происходит,
следовательно, резонансным образом: в первую очередь возбуждаются те
осцилляторы поля, частота которых близка к частоте вынуждающей силы Fk\.
Оставим поэтому только резонансный член и просуммируем энергии,
полученные осцилляторами поля, у которых частоты не сильно отличаются от
шо, направление к заключено внутри телесного угла dCl, а орт поляризации
eki (екг) имеет одно и то же направление:
dW = TwkX = ^ [ 'У .1 ~cos^fe - ^°)* <ьк,
" 2с3 J AfUk+wo (шк-шо)2
' wo - <5
Подынтегральная функция в последнем выражении имеет резкий максимум при
и>к = ujq. Этот максимум тем уже, чем больше t. При достаточно
больших t можно вынести плавно меняющийся множитель V Шк]к-х за
¦у Wlc + WO
знак интеграла, положив в нем и>к = wo- В оставшемся интеграле можно
устремить 6 к оо. Тогда он примет вид (см. приложение 1):
ОО
/1 - cos at , . .
------5---da = 7Г1, t -у оо.
a
- OO
Мы получим, таким образом:
dW = ^(frki + frj^K.
dn 2 с3
Отсюда для интенсивности излучения в данном направлении находим хорошо
известный результат:
~Ж = 1 dW = e2wgv2 sin2 $
dn t dn '
__ у2
где через v2 = -у обозначена средняя скорость колеблющейся частицы,
через t? - угол между направлением vo и направлением к. При выводе
последней формулы мы воспользовались легко получаемым соотношением
(vo • eki)2 + (v0 • ek2)2 = v% sin2 ¦&.
§4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны 587
Интегрированием по углам находим полную интенсивность излучения
j 2e2w2v2
3 '
823*. Будем приближенно решать систему уравнений (1) и (3) задачи 819.
Пренебрегая реакцией излучения, подставим в уравнение (3) напряженность
поля Е = Ео cosut падающей волны. Его решение, соответствующее
