Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
неизвестной. Если неизвестных оказывается больше одного, то к
составленному уравнению закона сохранения энергии нужно добавить основное
уравнение динамики материальной точки, уравнение закона сохранения
импульса или формулы кинематики. В результате получится система
уравнений, совместное решение которых позволит определить искомую
величину.
Пример 1. Вагонетку массой т = 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон
которой к горизонту равен р = 30°. Какую работу совершила сила тяги на
пути s - 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением а =
0,2 м/с2? Коэффициент трения принять равным р = 0,1; g - 10 м/с2.
Решение. По условию задачи необходимо вычислить работу постоянной силы
тяги Fr. Эта работа определяется формулой
А = FTs cos а. (1)
97
Делаем чертеж (рис. 3.1) и расставляем силы, действующие на вагонетку:
это сила тяги Fт, сила тяжести, равная mg, сила трения FTp и реакция
опоры N.
По условию задачи сила гяги направлена вдоль перемещения, поэтому угол а
между FT Рис. 3.1 и перемещением равен нулю, и,
следовательно, cos а = 1. (Этот угол не следует путать с углом наклона р
плоскости.)
Чтобы определить силу тяги, нужно составить основное уравнение динамики
материальной точки. Выберем систему отсчета - Землю и связанную с ней
прямоугольную систему координат. Ось Ох направим вдоль наклонной
плоскости вверх, ось Оу - перпендикулярно наклонной плоскости. Проекции
сил, действующих на вагонетку, по этим осям равны соответственно Fт, -
mgsin р, -Дтр, N и -mgcosp.
Уравнение второго закона Ньютона в проекциях на ось Ох дает:
Fi - mg sin р - Дтр = та,
на ось Оу:
N - mg cos р = 0.
Учитывая, что Frp - \xN, основное уравнение динамики в проекциях на ось
Ох можно записать так:
Fr - mgsin р - pmgcos р = та.
Найдя из этого уравнения силу тяги и подставив ее значение в уравнение
(1), получим:
А = т (а + gsin р + pgcos p)s; А " 900 Дж.
Пример 2. Две пружины одинаковой длины, имеющие соответственно жесткость,
равную /гi = 9,8 Н/см и ?2=19,6 Н/см, соединены между собой концами
(параллельно). Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружины на
so = 1 см? Чему будет равна эта работа, если пружины будут соединены
между собой только одним концом (последовательно)?
Решение. Чтобы растянуть или сжать пружину на заданную длину, к ней нужно
приложить силу, модуль которой зависит от упругих свойств пружины. Эти
свойства характеризуются ее жесткостью k. При небольших удлинениях или
сжатиях упругих пружин можно с большой степенью точности считать, что
удлинение s пружины прямо пропорционально приложенной к ней силе, т. е. F
= ks. Работа такой силы, как мы знаем, может быть рассчитана по второй
формуле (3.3), если известны удлинение и
98
жесткость пружины. При параллельном или последовательном соединении
пружин с известной жесткостью k\ и к2 их общую жесткость ко можно
вычислить следующим образом.
При растяжении силой F0 двух пружин, соединенных пара-лельно, общее
удлинение пружин
S0 = Si=S2, (1)
где Si и s2 - удлинение первой и второй пружины. Если
растянутые пружины находятся в равновесии и массы их ничтожно малы, то
модуль_силы, деформирующей пружины, равен сумме модулей сил F\ и F2
натяжений пружин, т. е.
E0 = Ei + E2, , (2)
поскольку все силы действуют по одной прямой.
Согласно формуле (3.2) для системы пружин и каждой пружины в отдельности
можно записать:
F0 = k0so; Fi = kis г, F2 = k2s2. (3)
Исключая из уравнений (1) - (3) силы и удлинения, получим:
ко = k\ -f- k2. (4)
В общем случае при параллельном соединении п пружин их общая жесткость
равна:
П
к0 = И ki.
i=i
Зная жесткость двух пружчл, соединенных параллельно, и удлинение, легко
найти работу, совершенную силой Fo. Согласно формуле (3.3) она равна:
= (fei + Л{== 0,147 Дж.
При растяжении двух пружин, соединенных последовательно, натяжение каждой
пружины равно внешней приложенной силе:
F\ - F2 = Fo, ' (1)
а общее удлинение - сумме удлинений каждой пружины:
s0 = si + s2. (2)
Кроме того, для системы пружин и каждой пружины в отдельности будут иметь
место соотношения (3).
Исключая из уравнений (1), (2) и (3) силы и удлинения, получим:
ko kt кг '
откуда
(3)
99
В общем случае при последовательном соединении п пружин их общую
жесткость можно найти из формулы
-L=2-.
ka /=| ki
Работа по растяжению двух последовательно соединенных пружин согласно
формуле (3.3) равна: х
А2 = *f- = 2(к1 + % ' А2 = °'037 Дж'
Пример 3. Самолет массой т = 3 т для взлета должен иметь скорость v = 360
км/ч и длину разбега s = 600 м. Какова должна быть минимальная мощность
мотора, необходимая для взлета самолета? Силу сопротивления движению
считать пропорциональной силе нормального давления, средний коэффициент
сопротивления принять равным р = 0,2. Движение при разгоне самолета
считать равноускоренным.
Решение. В задаче требуется определить мгновенную мощность мотора в
момент взлета самолета. Она и будет являться той минимальной мощностью,
при которой самолет может еще набрать скорость, необходимую для отрыва от
