Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
h = I (cos а - cos ао). (3)
Уравнения (1) - (3) содержат три неизвестные величины: Т, V и И. Решая их
относительно искомой силы натяжения, мы получим ответ на первый вопрос
задачи: как меняется сила натяжения нити в зависимости от ее положения,
характеризуемого углом а:
Т - mg( 1 + 2 cos а - 2 cos ао).
Анализируя полученный результат, мы видим:
1) при а = 0, т. е. в нижней точке траектории (при вертикальном положении
нити) сила натяжения имеет максимальное значение, равное
T'max = mg(3 - 2cosao);
2) если в начальный момент нить занимает горизонтальное положение (ао =
90°), то сила натяжения будет меняться по закону
Т = mg( 1 + 2 cos a).
Она имеет, максимальное значение Tm3^ - 2>mg при a = Q.
106
¦ б) Наибольшее значение начального я ц
угла отклонения, при котором максималь-ная сила натяжения нити равна
Ттах- / i = 2mg, можно найти из уравнений (1) , L h \ И?
(3) Так как максимальное натяжение 1 i f
нить испытывает в вертикальном поло- т' \ j
женин, то, положив в них а = 0 и Гтах = j /
- 2mg, получим: j /
ц2 = 2gh, 2mg -mg = 2f,
h = 1(1 - cos a0). Рис 3.7
Решая эти уравнения совместно относительно ао, получим cos ао = 0,5; ао =
60°.
Таким образом, при отклонении нити в горизонтальное положение Tmax = 3mg,
при отклонении на угол ао = 60° Ттах - = 2 mg.
Пример 9. Вокруг горизонтальной оси может без трения вращаться легкий
рычаг (рис. 3,7), плечи которого равны 1\ и h-На концах рычага укреплены
грузы массой, равной соответственно mi и Шг- Предоставленный самому себе,
рычаг переходит из горизонтального положения в вертикальное. Какую
скорость будет иметь в нижней точке второй груз?
Решение. В задаче рассматривается переменное движение системы
материальных точек. Решать эту задачу нужно с помощью закона сохранения
энергии. Приняв за первое положение системы начальное положение штанги, а
за второе - ее положение в момент прохождения вертикали, записываем
исходное уравнение:
А = W2- Wi.
Потенциальную энергию грузов будем отсчитывать от нижнего уровня 00.
Из внешних сил на движущийся рычаг с грузами действуют только силы со
стороны оси. Если пренебречь трением, то можно считать, что работа этих
сил равна нулю (Л =0) и поэтому полная энергия грузов не меняется.
Поскольку масса рычага ничтожно мала, в горизонтальном положении система
обладает механической энергией, равной сумме потенциальных энергий
первого и второго грузов, т. е.
W\ - niigli + m2gt2
(кинетические энергии грузов в этом положении равны нулю)
В вертикальном положении механическая энергия системы равна:
I I г \ . rn-tvl
2 = - + mig(li + /2) + -jp,
где v\ и V2 - скорости соответственно первого и второго грузов.
107
Подставляя полученные выражения для полной энергии в исходную формулу и
учитывая, что внешние силы работу не совершают, имеем:
+ + h) + ^-{mx + m2)gh = 0. (1)
В этом уравнении содержатся две неизвестные величины - скорости грузов.
Второе недостающее уравнение получим, исходя из того, что в каждый
рассматриваемый момент времени радиусы вращения всех точек рычага имеют
одинаковую угловую скорость, и, следовательно, в положении II
"2 = у- = 72-. (2)
I \ h
Исключая из уравнений (1) и (2) v\, находим:
Уровень отсчета высоты не обязательно проводить по нижнему положению тел,
хотя ради общности в данной задаче мы поступили именно так. Если,
например, уровень 00 провести через начальное положение штанги, мы имели
бы для энергий системы в / и II положениях:
Wi = 0; W2=^f-+m,gU+^-m2gl2.
Обратите внимание, что потенциальная энергия второго груза здесь взята со
знаком "минус", поскольку он оказался ниже уровня отсчета высоты.
Подставив эти выражения энергии в исход- , ную формулу, мы получили бы
уравнение (1).
Пример 10. Для определения скорости пули применяется баллистический
маятник (рис. 3.8), состоящий из деревянного бруска, подвешенного на
легком стержне. При выстреле в горизонтальном направлении пуля массой т
попадает в брусок и застревает в нем Какова была скорость пули, если
маятник поднимается
на высоту h? Масса бруска равна М; трение в подвесе и массу стержня не
учитывать. Какая часть кинетической энергии пули переходит в теплоту?
Решение. Это одна из распространенных задач на неупругий удар двух тел, в
результате которого изменяется их положение по высоте.
Неупругим ударом называется удар, при котором происхо-
\ п \
\
\ *
0'т vo_ fad
/77
т*М < /
0.1
V;
Рис 3.8
108
дит частичное или полное превращение механической энергии во внутреннюю.
При неупругом ударе тел механическая энергия системы до соударения не
равна механической энергии системы после удара; часть механической
энергии расходуется на остаточную деформацию тел, вызывая их нагревание.
Закон сохранения и превращения энергии для неупругого соударения тел
имеет вид:
Wt = W2 + Q.'
Здесь Wi и W2 - полная механическая энергия системы (всех тел) до удара и
после удара; Q - количество теплоты, выделившейся при ударе.
Задачи на неупругое соударение тел решаются на основании закона
