Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
тел: первое - до удара, второе - после удара.
Обозначим скорости кораблями метеора^ до и после соударения
соответственно через щ, 02, Hi и и% и будем считать, что после удара
корабль продолжал двигаться в прежнем направлении (рис. 3.9,а,б).
Ill
Так к'ак импульсы тел в момент удара направлены под углом а друг к другу,
то для простоты решения спроецируем их на линию центров (примем ее за ось
Ох) и нормаль к ней (ось Оу). Проекции импульсов корабля и метеора на эти
оси равны:
до удара: Mvi, -mv2 cos a, mv2 sin а, после удара: Миi, тыг cos р, ти2
sin р,
где р - угол, под которым отразится метеор.
Учитывая, что система корабль - метеор изолированная, запишем уравнение
закона сохранения импульса по оси Ох:
Mv 1 - mv2 cos а = Ми\ + muz cos p. (1)
Так как обшивка корабля идеально гладкая, то для проекций импульсов на
ось Оу будем иметь:
mo2sin а = mu2sin р. (2)
Поскольку соударение корабля и метеора абсолютно упругое и внешние силы
на них не .действуют, в соответствии с законом сохранения энергии должно
быть:
Mv\ + mv\ - Ми\ + mul. (3)
В отличие от закона сохранения импульса уравнение закона сохранения
энергии в общем случае по осям не выполняется. Однако если взять
прямоугольную систему координат, то в случае упругого удара уравнение
закона сохранения механической энергии будет иметь место и для той ее
части, которая приходится на движение тел по осям Ох и Оу (рекомендуем
доказать это читателям). В данной задаче это уравнение для линии центров-
оси Ох имеет вид1:
Mv\ + mvl cos2 а = Mul + mul cos2 p. (4)
Чтобы найти из уравнений (1), (4) скорость корабля после столкновения,
рекомендуется их сначала преобразовать, сгруппировав члены, содержащие
одинаковую массу:
M(vi - и\) - т ("2COS р + 02COS а), (5)
M(vl - и\) = т ("|cos2p - nicos2a). (6)
После этого нужно разделить первое уравнение на второе:
[)!-(-"! = U2 cos Р - 02 cos a. (7)
В результате мы получили два уравнения (5) и (7) первой степени, из
которых гораздо легче найти скорости тел после удара, чем непосредственно
из уравнений (1), (4). Умножая уравнение
1 Для оси Оу мы имели бы mvlsin2 а = mulsin2 р, что эквивалентно
уравнению (2).
112
(7) на т и вычитая его из (5), после простых преобразований для скорости
корабля после удара получим:
(М - т) У\ - 2mv2cos а
_ М + т
Аналогично для проекции вектора скорости метеора на ось Ох найдем: -
о (М - т) Уз cos а 4- 2Mvi
U2x = "2 COS Р = -i----'-j-----i
М + т
Из уравнения (2) проекция вектора скорости метеора на ось Оу равна:
"2i/ = ^sin а.
Зная проекции U2x и и2У, можно найти модуль скорости U2-
и2= V U2X + и\у .
Из уравнений (1), (2), (4) можно определить также направление вектора
скорости метеора после удара:
. О и.2" __ (М + m) y2sin а
и2х 2Mvi + (М - т) V2COS а
Анализируя выражения для скоростей и\ и ыг, которые тела будут иметь
после абсолютно упругого удара, можно сделать следующие выводы:
1) при центральном лобовом соударении тел а = 0 и скорости тел после
удара равны:
(М - m)v I - 2 mvi U{Z= -----М~Гm--------'
U2^U2x = lM^mlvL±lM2J, и p = 0;
M + m
2) если при центральном лобовом соударении происходит упругое
столкновение двух тел одинаковой массы (т = М), то U\ = - v2, U2 = vi, т.
е. тела обмениваются скоростями.
Если при этом одно из тел покоилось, например У|=0, то "1 = - V2, а иг -
0 - движущееся тело после удара остановится, неподвижное станет двигаться
со скоростью второго тела;
3) если а ф 0, но т = М, для угла р разлета тел будем иметь:
tg р sin а;
4) если а ф 0, т = М и щ - 0, т. е. упругое тело налетает под углом а на
неподвижное тело той же массы, тела разлетаются под углом 90°.
113
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3
3.1. Какую работу нужно совершить, чтобы груз массой 1 кг поднять вначале
равномерно на высоту 1 м с ничтожно малой скоростью, далее в течение 2 с
поднимать с ускорением 0,5 м/с2, а затем - с ускорением 0,5 м/с2 до
полной остановки? Сопротивление воздуха не учитывать.
3.2. Груз массой т равноускоренно поднимается лебедкой. На некотором
участке пути длиной h груз двигался со средней скоростью и, причем его
скорость возросла на Ао. Определите работу силы натяж.ения троса на этом
пути.
3.3. Пластинка массой т лежит на горизонтальном столе. В центре пластинки
укреплена легкая пружина с жесткостью k. Какую работу нужно совершить,
чтобы на пружине поднять пластинку на высоту h от поверхности стола?
"
3.4. Два бруска массами Мит, соединенные пружиной с жесткостью k, лежат
на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между брусками и
поверхностью равен р. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы
систему сдвинуть с места, прикладывая силу вдоль поверхности?
3.5. Три одинаковые пружины прикреплены к кольцам так, как показано на
рисунке 3.10. За каждое кольцо тянут силой Г = 49 Н. Какая работа была
совершена при растяжении пружин, если известно, что при нагрузке Fo = 9,8
Н каждая пружина удлиняется на s- 1 см?
3.6. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы вы нуть пробку из
