Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Fc = -2L[-|. + g(A + s)]; 12 кН.
Пример 7. Тяжелый шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу,
образующему "мертвую петлю" радиусом R. С какой высоты шарик должен
начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке
траектории?
Решение. Нам дана задача о переменном движении материальной точки по
окружности. Причем в процессе этого движения изменяется положение точки
по высоте. Эта и подобные задачи относятся ко второй группе задач о
криволинейном движении, и, как указывалось выше, главным в их решении
является составление уравнения закона сохранения энергии и уравнения
второго закона Ньютона в проекциях на нормаль к траектории движения.
103
Делаем чертеж (рис. 3.5) и записываем формулу закона сохранения энергии:
А = W2- Wt.
Первым считаем положение шарика в начале движения, вторым - положение в
верхней точке траектории. Уровень отсчета высоты выберем на поверхности
стола.
В процессе движения на шарик действуют две сильп сила тяжести, равная mg,
и нормальная реакция опоры N. Работа силы тяжести учитывается в изменении
потенциальной энергии, сила N работу не совершает, так как она
перпендикулярна перемещению (в формуле работы cOsa = 0), поэтому
А = 0.
Полная механическая энергия шарика в / и II положениях равна
соответственно:
W\ = mgh
и
W2 = ^f- + mg2R.
Подставляя выражения для работы и энергии в исходное уравнение, получим:
0 = + 2 mgR - mgh,
откуда
о2 + 4gR - 2gh = 0. (l)t
В верхней точке петли на шарик в общем случае действуют вниз две силы mg
и N. Следовательно, по второму закону Ньютона
N + mg (2)'
При пуске с достаточно большой высоты шарик приобретает такую скорость,
что в каждой точке петли давит на желоб с некоторой силой N, различной в
разных точках. По третьему закону Ньютона желоб действует на шарик с той
же по модулю силой в противоположную сторону и отжимает его на дугу
окружности радиусом R.
По мере уменьшения начальной высоты спуска скорость шарика в верхней
точке петли уменьшается и при некотором значении становится такой, что он
пролетает верхнюю точку петли, лишь касаясь желоба. Для этого предельного
случая N- 0, и. уравнение второго закона примет вид:
откуда
gR = v2.
(3)
Такой же результат получается из анализа уравнения (2). При заданном
радиусе R модуль N уменьшается с уменьшением скорости v, пока не
достигнет нуля. Это соответствует минимальной высоте, когда шарик еще
описывает "мертвую петлю".
Решая уравнения (1) и (3) совместно относительно /г, получим:
h = 2,5R.
Пример 8. Груз массой m висит на легкой нити длиной /. Нить отклонили от
вертикального положения на угол а0 и отпустили, а) По какому закону
изменяется сила натяжения нити при движении груза? б) На какой
максимальный угол можно отклонить нить, чтобы при последующих качаниях
она не оборвалась, если нить выдерживает силу натяжения, равную по мог
дулю 2mg?
Решение. В задаче рассматриваются два положения системы, которые проходит
груз при неравномерном движении по дуге окружности. Для решения задачи
нужно составить уравнение закона сохранения энергии и второго закона
Ньютона в проекциях на направление радиуса.
а) Делаем чертеж (рис. 3.6), отмечаем первое положение груза,
характеризуемое начальным углом отклонения ао, и второе, характеризуемое
произвольным углом а. Записываем уравнение закона сохранения энергии:
А= W2 - Wi.
За начало отсчета потенциальной энергии примем произвольное положение
груза - уровень 00.
Отмечаем высоту h и скорость v груза в положении II. На груз при его
движении^действует сила на-тяженш! нити Т и сила тяжести, равная mg. Во
время движения сила натяжения всюду направлена под углом 90° к вектору
скорости, поэтому при перемещении груза из положения / в положение II
работа этой силы равна нулю:
А = 0.
Полная энергия груза в указанных положениях равна соответственно
W{ = mgh и W2=^f-,
так как в положении / скорость груза, а в положении II высота
105
груза над уровнем 00 равны нулю. Подставляя найденные выражения для
работы и полной энергии в исходную формулу, получим:
ja?--mgh = о,
откуда
v2 = 2gh. (1)
В тот момент времени, когда нить составляет с вертикалью угол а, на
груз^действует сила тяжести, равная mg, и сила натяжения нити Т. Под
действием этих сил груз движется по дуге окружности, обладая нормальным
а" и касательным ак ускорениями. Спроецируем вектор mg на направления
радиуса и касательной. Как видно из чертежа, соответствующие проекции
равны: Fi = mg sin a, F2 - mg cos а. Согласно второму закону Ньютона
mg sin а = так, откуда ак = g sin а.
Нетрудно заметить, что T>F2 (от своего начального направления движения
груз отклоняется вверх), поэтому уравнение второго закона Ньютона в
проекциях на нормаль к траектории имеет вид:
Т - mg cos (2)
где I - длина нити; о ¦- скорость груза во II положении системы.
Для нахождения вида функции Т(а) составленных уравнений
недостаточно. К ним необходимо добавить связь между А,
I, ао и а. Как видно из чертежа,
