Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
сопротивлением г и Зг нельзя считать соединенными последовательно,
поскольку между ними включен проводник сопротивлением 2г; проводники
сопротивлением гиг (или Зг и Зг) нельзя считать параллельными, так как
точки b и d замкнуты проводником сопротивлением 2г.
Нетрудно заметить, что в данной схеме проводники включены симметрично - в
схеме есть продольная ось симметрии, проходящая через точки а и с.
Поэтому для вычисления общего сопротивления контура нужно найти точки с
одинаковыми потенциалами и, разъединив их (или соединив), свести задачу к
типу предыдущей. Если ток подойдет к узлу а (или с), он разветвится на
две равные части, поскольку условия его прохождения по каждой ветви до
точки с будут идентичны. Потенциалы в точках bud будут одинаковые, так
как падение напряжения на проводниках сопротивлением гиг одинаково, и
потенциал этих проводников в точке а один и тот же. Разность потенциалов
между точками bud равна нулю, по резистору сопротивлением 2г ток не идет,
и, стало быть, не нарушая режима работы цепи, эти точки можно
разъединить, выбросив проводник сопротивлением 2г.
После такого упрощения схемы проводники сопротивлением г и Зг оказываются
соединенными последовательно, а верхняя и нижняя ветви - параллельно.
Общее сопротивление всей цепи
301
равно:
Ro = = 2r-
Следует обратить внимание на то, что точки Ь и d можно разъединять,
выбрасывая включенный между ними проводник, только в тех случаях, когда
схема симметрична. Если же, например, в одной из ветвей поменять местами
резисторы сопротивлением г и 3г, то разность потенциалов между точками b
и d не будет равна нулю; по проводнику 2г пойдет ток, и указанным методом
расчета воспользоваться будет нельзя.
Схему рисунка 12.2, б часто изображают так, как показано на рисунке 12.3.
Разумеется, общее сопротивление цепи остается при этом неизменным.
в) В шестиугольнике с перемычками (рис. 12.2, в) точки входа и выхода
тока и проволочные сопротивления расположены симметрично оси ас - в схеме
имеется поперечная ось симметрии, поэтому точки а, b и с имеют одинаковый
потенциал и их можно соединить в одну, выбросив проводники ab и Ьс, по
которым ток не идет. После этого схема упрощается, и ее сопротивление
легко вычислить как комбинацию последовательно и параллельно соединенных
проводников. Как видно из чертежа, это сопротивление, а следовательно, и
сопротивление исходного контура, равно:
г) Перейдем теперь к определению сопротивления каркаса куба,
составленного из проволочек с одинаковым сопротивлением г (рис. 12.2, г).
Если подвести напряжение к точкам Л и В, то легко сообразить, что ток в
них разветвляется на три равные части, поскольку условия его прохождения
по каждой ветви из точки А в точку В идентичны. На проводниках Аа падение
напряжения будет одинаковым, поэтому в трех вершинах куба а потенциалы
тоже будут одинаковыми и равными <ря.
Токи, идущие по проводникам Аа, в свою очередь разветвятся на равные
части в вершинах куба и пойдут по проводникам ab. В точках Ь они
сливаются и идут через проводники ЬВ к узлу В. Так как проводники ab и
токи в них одинаковы, то падение напря-
Ro
г.
2
жения на них будет одним и тем же и потенциалы в вершинах куба b будут
равны <рь-
Поскольку потенциалы во всех трех точках а, точно так же как и в точках
Ь, одинаковы, эти точки можно соединить, вытянув каркас куба вдоль
диагонали АВ. В результате получится простая эквивалентная схема,
представляющая комбинацию последовательно и параллельно соединенных
резисторов. Сопротивление участка Аа равно r/З, участка ab - г/6, участка
ЬВ - г/3. Все три участка соединены между собой последовательно, и их
общее сопротивление, а следовательно, и сопротивление каркаса куба, будет
равно:
"¦4 + f+тЧгг-
д) В схеме, представленной на рисунке 12.2, д, нет ни последовательно,
ни параллельно соединенных проводников, нет в ней также и точек с равными
потенциалами, поскольку она несимметрична. Для нахождения полного
сопротивления цепи здесь нужно использовать общий метод расчета.
Допустим, что к узлу а подходит ток /о и разветвляется в нем на токи /1 и
/2, т. е.
/0 = /1 /2- (I)
Предположим, что в точке b ток Д разветвляется на токи Д и Д:
/,=/з + /4. (2)
В точке d токи /2 и /з сливаются в один ток Д, который, дойдя
до точки с, сливается с током /4 в ток /о, т. е.
h = Д + /з; (3)
/о - Д + Д- (4)
Данная схема содержит 4 узла (точки а, Ь, с и d), и мы получили 4
уравнения токов. Эти уравнения содержат 6 неизвестных величин - все токи,
введенные в решение.
Составление второй группы уравнений основано на том, что ра- • бота
электрических сил по перемещению заряда q из точки а в точку с не зависит
от формы пути (пройдет ли заряд q по контуру abc, adc, abdc или adbc).
Если через Ro обозначить общее сопротивление цепи, то согласно сказанному
должно быть:
для контура abc: qUo = qU\ + qU\,
или иначе: IoRo - Дг+ ДЗг. (5)
Аналогично для контура adc: ДДо = /23г + Дг, (6)
для контура abdc: I0Ro - I\r + Д2г + Дг, (7)
