Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
находившиеся на конденсаторах Cl, С2 и СЗ, перерас-
пределятся.Персраспределение зарядов произойдет и на пластинах, не
связанных непосредственно с клеммами аккумуляторов. Допустим, они
станут равны qt, q2, -Щз и -q4. Суммарный
заряд на этих пластинах всегда равен нулю, поэтому заряды
на пластинах конденсаторов в узле b должны удовлетворять условию
q 1 + 42 - qz - Q4 = 0. (5)
Для контуров abdea и bdeb можно записать:
Si - §2 - Cab -{- ,Сз и S2- U4 - Сз, (6)
где С4 - напряжение на конденсаторе С4.
Связь между зарядами и напряжениями на конденсаторах,
269
1 i
с
2"
U4
¦и,
be '¦
Рис. П..10
входящими в уравнения (5) и (6), дается формулами электроемкости, из
которых следует, что
cji + Cj2 = (Ci C<2)Uab', <7з=Сз?/з; q4 = CiU4. (7)
Исключая из составленной системы уравнений заряды и напряжения иаь и Uз,
находим напряжение U4, равное разности потенциалов между точками, Ь и е:
(С| С2) Т Сз $2
С\ С2 Сз -р С4
Пример 11. Четыре тонкие металлические пластины площадью S каждая
расположены на расстоянии d друг от друга, как указано на рисунке 11.10,
а. Перекрывающиеся площади пластин равны S/2. Пренебрегая краевыми
эффектами, определите емкость системы.
Решение. Чтобы рассчитать электроемкость заданной системы пластин,
необходимо прежде всего заменить ее экбива-лентной системой плоских
конденсаторов, каким-то образом соединенных между собой. После этого
задача сведется jk расчету общей емкости батареи конденсаторов.
Нетрудно заметить, что каждую из четырех пластин можно представить как
две пластины вдвое меньшей площади, соединенные между собой проводником,
и заменить исходную схему схемой 11.10, б. При подключении аккумулятора к
крайним пластинам источник будет совершать работу по переносу части
электронов с одной крайней пластины на другую - заряды на проводниках
разделятся. Пластины, подключенные к клеммам источника тока, получат
заряды +до и -да. Эти заряды распределятся по двум пластинам 1 и двум
пластинам 4.
На внутренних пластинах заряды тоже перераспределяются. Эти пластины
оказываются в электрическом поле внешних пластин, поэтому в них начнется
смещение электронов проводимости навстречу полю, и оно будет происходить
до тех пор, пока результирующее поле внутри пластин не станет равным
нулю. Так
270
как заряды распределяются по поверхности проводников, то каждую из
пластин, находящуюся между двумя другими пластинами, можно рассматривать
как две пластины, соединенные между собой тонким проводником. Такая
замена является эквивалент ной, так как в конденсаторах заряды
распределяются лишь на той поверхности пластины, которая обращена в
сторону другой пластины данного конденсатора. Учитывая это, систему
пластин можно заменить эквивалентной системой плоских конденсаторов (рис.
11.10, в): трех плоских конденсаторов емкостью С = = eoS/(2d),
соединенных с двумя конденсаторами^ емкостью С/2 = eo5/(4rf). Ее, в свою
очередь, можно изобразить иначе (рис. 11.10, г).
Обозначим электроемкости конденсаторов через С[, С2, Сз, С4, Сь, где Ci -
Сз = С5 = С и С2 = С.4 = С/2. В последней схеме нет ни последовательно,
ни параллельно соединенных конденсаторов, поэтому для нахождения емкости
Со всей батареи нужно-воспользоваться общим методом расчета цепи. В том,
что данное соединение из пяти конденсаторов нельзя представить как
комбинацию последовательных и параллельных соединений, убедиться легко.
При последовательном соединении двух элементов цепи между ними не должно
быть узлов - этому условию ни одна пара конденсаторов не удовлетворяет.
При параллельном соединении двух элементов они должны быть
непосредственно подключены к одним и тем же двум точкам цепи и, стало
быть, на каждом проводнике, соединяющем элементы, должно быть только по
одному узлу. Этому условию ни одна пара конденсаторов тоже не
удовлетворяет.
Если на батарею конденсаторов подать напряжение U0, батарея получит заряд
qo - CqUq¦ (1)
Такой заряд будет разделен источником на пластинах конденсаторов,
подключенных к источнику.
Предположим, что заряды на конденсаторах равны qi, <72, <73, <74 и <75, и
отметим полярность обкладок конденсаторов в соответствии со знаками
полюсов батареи. Полярность конденсатора С5 установим при этом
предположительно: пусть верхняя
пластина имеет заряд + <75, а нижняя заряд -•q5. В нашей схеме
есть 4 узла - a, b, d не. Учитывая знаки зарядов
пластин
конденсаторов, запишем уравнения для зарядов (узлы а, b и е):
qo = <?i + <72, (2)
- <72 + <75 + <7з = 0, (3)
- <71 + <74 - <75 = 0. (4)
Таких уравнений нужно составлять на одно меньше числа узлов в схеме.
Уравнение для последнего узла не будет независимым -• оно является
следствием уравнений (2) - (4).
271
Записав уравнения для зарядов, нужно составить' уравнения для напряжений
на конденсаторах. Так как работа электрических сил по перемещению зардда
из одной точки электростатического поля в другую не зависит от формы
пути, а зависит только от разности потенциалов между этими точками, то
