Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Е'=:-;-гг и e2=i-;-гг•
(е, + е2) d (si + е2) d
266
Если слои диэлектриков перпендикулярны пластинам, то напряжение на каждом
из образовавшихся конденсаторов емкостями С\ и C'i одинаково и равно U,
поэтому
Напряженности полей в первой и второй среде при указанном расположении
слоев диэлектриков относятся друг к другу как
2е2 Е2 2е,
E'l El + ?2 Е'ч ?1 + ?2
При наложении на диэлектрик внешнего электрического поля происходит
поляризация диэлектрика и на его поверхности, перпендикулярной силовым
линиям поля, появляются связанные заряды. Рассмотрим первый слой
диэлектрика (см. рис. 11.8, а) Он находится в электрическом поле,
созданном пластинами конденсатора. Напряженность этого поля равна Eo-U/d,
поскольку на пластины подано напряжение U и расстояние между ними равно
а. Напряженность поля в первой среде будет ослаблена в 8i раз и будет
равна Е\ - Ео/г\ = U/(eid). Это поле является^ результатом наложения двух
полей: поля напряженностью Ео и поля напряженностью Ес, создаваемого
связанными зарядами и направленного навстречу полю пластин, т. е.
Ei - Eo - Ес, или иначе: ~ = -, Ес. (5)
E\d а
Напряженность Ес поля связанных зарядов, распределенных с поверхностной
плотностью -+- Oi и - ai на торцах первого слоя диэлектрика, можно
рассматривать как напряженность поля, созданного двумя параллельными
заряженными пластинами, поэтому Ес = о 1 / во*
Подставив это выражение для Ес в уравнение (5), получим окончательную
формулу для определения искомой плотности связанных зарядов:
JL.=rJL - El
Eld d Ео '
отсюда.
Ео (Е| - 1) U
О! =-----------.
eid
Аналогично для второго слоя диэлектрика будем иметь:
Ео (El-- 1) и
ё 2d
Пример 10. а) Найдите разность потенциалов между обкладками
конденсаторов, а также между точками b и е в схеме, изображенной на
рисунке 11.9. б) Какой заряд пройдет между
267
а II С1 - о II •
II и 'Г' || ' сз
II С2 I i i
-ll i i !
Рис. 11.9
точками b и е, если их соединить проводником? в) Какова будет разность
потенциалов между этими точками, если к ним подключить конденсатор С4?
Решение, а) Предположим, что $\ > §2, и обозначим разность потенциалов на
обкладках конденсаторов через 1)аь и Uз, тогда, учитывая полярность
источников, запишем:
§\ - §2 = Uab + Нз, ( 1 )
поскольку напряжение на всей батарее конденсаторов между точками а и b
равно разности - §2•
Конденсаторы С1 и С2 соединены между собой параллельно, конденсатор СЗ
подключен к ним последовательно. Если на этих конденсаторах находятся
соответственно заряды q\, q2 и <73, то должно быть
<71 + q2 = <73, (2)
так как при указанном соединении конденсаторов заряд на участке ab равен
заряду на участке bd. Величины, входящие в первые два уравнения, связаны
между собой через емкости:
q\ = C\Uab\ q2 = C2Uab', q^ - C^U^- (3)
Решая уравнения (1) - (3) относительно 1)аь и Uз при заданных. С], Сг,
Сз, & и §2, находим напряжения на конденсаторах:
J] Сз ( & &) . тт (Cl С9)(^| ^9)
аЬ ~~ С, + С2 + Сз ' 3 - С, + С2 + Сз '
Разность потенциалов между точками b we можно определить из уравнения
(1). Для этого достаточно его представить в несколько ином виде,
сгруппировав значения разностей потенциалов, относящихся к
соответствующим участкам bde и ead:
Ube= § 1 - Uab - $2 + У 3- (4)-
Выражение, стоящее в левой части равенства (4) (так же как и -в правой),
представляет алгебраическую сумму напряжений на участках между точками b
и е и является искомой разностью потенциалов Иъе-
268
Подставляя в правую часть уравнения (4) вместо СаЬ полученное для него
выражение, найдем:
г 7 (Cl -f- С2) §1 Сз§2
Ье~ С, + С2 + С3
Точно такой же результат мы имели бы при подстановке, в правую часть
уравнения (4) выражения для Сз-
При расчете схем, составленных из конденсаторов и аккумуляторов,
электроемкости источников напряжения, а следовательно, и заряды их
считаются равными нулю. Записывая уравнения (1), (2), мы воспользовались
этим допущением и учитывали только заряды конденсаторов. В заключение
отметим, что полученный нами результат для С"ь и (Уз не зависит от
чередования выделенных участков цепи. Если, например, поменять местами
источник с ЭДС §2 и конденсатор СЗ, ответ к задаче не изменится.
б) Если точки b и е соединить проводником, то конденсаторы С1 и С2
окажутся подключенными параллельно первому аккумулятору, а конденсатор СЗ
- второму. Когда точки b не были разъединены, общий Заряд внутренних
пластин конденсаторов, не подключенных непосредственно к клеммам
аккумуляторов, был равен нулю. При замыкании точек проводником на
пластинах появится некоторый заряд - это и будет тот заряд, который
пройдет через проводник между этими точками. Если предположить, что на
внутренних обкладках конденсаторов Cl, С2 и СЗ находятся заряды q 1, q2 и
-q2, то искомый заряд будет равен их алгебраической сумме:
qх ~~~ q 1 Е q2 - дз-
*
Поскольку же
q\ + о,2 = (Сi + С2) Si и 4з = Сз Si, то
Цх = {С\ 4- С2) §1 - Сз$2-
в) Если между точками b и е подключить конденсатор С4, то заряды,
