Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
индуцированные заряды не достигнут такого значения, что своим полем не
скомпенсируют внешнее электрическое поле, т. е. до тех пор, пока
результирующее поле внутри проводника не станет' равным нулю. Отсутствие
электрического поля внутри проводника при равновесии зарядов на
проводнике - главное условие, позволяющее определить индуцированные
заряды. Если под действием сил поля шара электроны начнут смещаться на
внутреннюю поверхность слоя и на ней появится индуцированный заряд - q 1,
то на внешней поверхности возникнет такой же заряд противоположного знака
-\-q\ (рис. 11.6). В результате получится три концентрические заряженные
сферы радиусов г, R\ и R2 4- + _ц
с зарядами q, -q\ и -\-q\. В пространстве между второй и третьей сфе-
рой напряженность электрического 4 поля равна нулю, поэтому на расстоянии
х от общего центра сфер 4-я при R\^Lx^.R2 согласно принципу наложения
полей и формулы для 4 напряженности поля заряженной сферы должно быть
откуда q\ - q.
Рис. 11.6
253
Здесь мы учли, что вторая сфера создает снаружи такое поле, как если бы
ее заряд находился в центре, а поле третьей сферы в ее внутренней области
отсутствует.
Найдя заряд на поверхности сферического слоя, можно приступить к
нахождению напряженности и потенциала поля в различных точках
пространства. Внутри шарика (при 0<лг"<г)
Е = 0; v = kf-kf-+k^ = kg(-L-± + ±).
Между шариком и слоем (r^lx^Ri)
Е = k Af\ ср = k-$--k-$- -\-k - =kq(-------------^-birV
х2 т х Rx Ri ч\х Я, ^ Ri )
Внутри шарового слоя (/?i ^ х ^/?г)
? = 0; = k-3- + k-3- = k-2-.
х х Rn R2
За пределами системы (R2 ^ х ^ оо)
E = k-3-\ q = kJ~.
X X
б) Заряды, возникающие на поверхности заземленного проводника, можно
найти из условия, что потенциал его равен нулю. Напряженность
электрического поля в проводнике, конечно, также будет равна нулю, но
заряды на поверхностях сферического слоя будут .неодинаковые. В отличие
от предыдущего случая они могут стекать с оболочки или, наоборот,
набегать на нее. Если предположить, что на внутренней поверхности слоя
появляется заряд -q 1, на внешней - заряд -+-<72, то Ре_ зультирующий
потенциал на заземленной поверхности слоя {x - Rz) будет равен:
откуда следует, что
<7i - <72 = <7- (1)
Поскольку поле внутри проводника' отсутствует, то должно быть
E=.k 4-й4 = 0,
X X
откуда модуль заряда на внутренней поверхности слоя равен:
q\=q. ' (2)
Из (1) и (2) следует, что q2 - 0, т. е. на внешней поверхности
заземленного слоя заряда нет, а на внутренней поверхности находится заряд
<71 = - q. Таким образом задача свелась к
254
нахождению поля двух заряженных концентрических сфер радиусов г и R, на
которых находятся заряды -\-q и -q. При расчете поля данной системы можно
воспользоваться результатом пункта а), положив во всех полученных там
формулах заряд третьей сферы равным нулю. В результате мы получим
внутри шарика:
? = 0; ф = kq ------------(О^х^г);
между шариком и слоем:
? = *^-; Ф = (г<х</?,).
При /?I х ^ оо поле отсутствует.
в) Если сферический слой сделан из диэлектрика, то при внесении его в
поле заряженного шарика произойдет поляризация слоя и на внутренней и
внешней поверхностях появятся связанные заряды -qQ и -\-qQ. Значение их
находят следующим образом. Электрическое поле, создаваемое заряженным
шариком, в диэлектрике ослаблено в е раз. Поэтому если мы возьмем какую-
нибудь точку внутри сферического слоя, удаленную от центра шарика на
расстояние х, то напряженность
поля в ней, с одной стоооны, будет равна E - k-%-, а с дру-
ЕХ
гой стороны, ее можно найти как результат наложения поля шарика и поля
связанных зарядов внутренней поверхности оболочки:
E = k 4-*4.
X X
Приравнивая оба выражения для ?, мы найдем модуль связанных зарядов,
возникающих на поверхности диэлектрика:
qc=^~q.
После этого задача сводится к нахождению поля трех концентрических сфер
радиусов г, R\ и R2, на которых находятся заряды q, -^дд.1- q ц ц- Е ~ 1
q Аналогично результатам пункта
а) находим:
? = 0; ? = *f[X_.SfX(-_L_-L)]
E = kf-, T = *,[X_L^i(X_ X)] (r<x<Rt).
255
При /?1 < X < /?2 Если /?2 5^ * ^ 00 > то
Е = k-3~\ ф = й^_.
х *
Рекомендуем читателю построить графики зависимости Е(х) и ср(х) для
каждого из трех разобранных примеров.
Пример 4. Пучок электронов, пройдя ускоряющую разность потенциалов i/o
=10 кВ, влетает в середину между пластинами плоского конденсатора
параллельно им. Какое напряжение необходимо подать на пластины
конденсатора, чтобы пучок электронов при выходе из конденсатора
отклонялся от своего начального направления на максимальный угол? Длина
пластин /=10 см, расстояние между ними d = 3 см.
Решение. Решение задач о движении заряженных частиц в однородном
электрическом поле конденсатора или заряженной плоскости очень сходно с
решением задач на движение тела, брошенного в поле тяжести. Отличие
состоит лишь в том, что движение частиц происходит в поле, которое
сообщает им некоторое постоянное ускорение а, отличное от ускорения
