Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
выравниваются:
,_ф1 = ф2- (2)
Записав исходные уравнения (1) и (2), нужно выразить заряды и потенциалы
тел через заданные величины и затем установить связь между этими
уравнениями с помощью формулы электроемкости (11.13).
- Начальный заряд <71 первого шара можно найти, зная его емкость и
начальный потенциал:
<7, = С1ф|. (3)
Потенциалы шаров можно выразить через их емкости и заряды с помощью
формулы (11.13):
Ф$ = -& (4)
С 1 С 2
где С| и С2 - емкости шаров; ц\ й <72 - заряды на шарах после
перераспределения.
Согласно формуле (11.15) емкости шаров связаны с их радиусами формулами
Ci=4tt?on и Сг = 4л8ог2. (5)
Уравнения (1) •- (4) позволяют определить заряды q\ и <72. Поверхностная
плотность зарядов на шарах после перераспределения равна:
и. a'2=i&- (6)
В составленной системе уравнений неизвестными величинами фактически
являются <71, <71, q% о\ и 02. Исключая из уравне-
261
ний заряды и подставляя числовые значения, получим:
(4ле0Т| + C2)r 1
01 == 56 нКл/м2.
Аналогично 02 = 42 нКл/м2.
б) Если первый шар окружить заземленной металлической сферой, на ней
появится индуцированный заряд, равный по модулю и противоположный по
знаку заряду шара (см. пример 3, пункт б). Электрическим взаимодействием
шаров мы при этом пренебрегаем, считая, что они находятся очень далеко
друг от друга. Заряд самого шара при этом не остается таким, каким он был
до внесения его в оболочку. Поскольку емкость Сф 0б системы шар - сфера
станет больше, чем емкость С\ одного (первого) шара, его потенциал
уменьшится и на него перейдет часть заряда со второго шара. ч
В том, что емкость Сi, 0б первого шара вместе со сферой действительно
больше, чем Сi, убедиться очень легко. Поскольку .она оказывается равной
емкости сферического конденсатора, т. е.
После перераспределения зарядов на шарах и появления индуцированных
зарядов на сфере потенциалы шаров выравниваются. Обозначим их ц>\ и ф?,
причем <р( = ф?. Потенциал (pi на поверхности шара, заключенного в
оболочку, складывается из потенциала фш поля, созданного самим шаром, и
потенциала фоб поля, которое создавала бы сама оболочка в том месте, где
находится шар, т. е. ф( = фш + ф0б- Потенциал на поверхности оболочки при
этом, разумеется, равен нулю, так как она заземлена.
Если после перетекания заряда на первом шаре оказался заряд qi, то на
оболочке появится заряд -qi, и, следовательно,
Потенциал второго шара, если считать, что он достаточно удален от
первого, равен:
где q2 - заряд этого шара. Учитывая все это, запишем:
4яео^Г[
(7)
г R
a Ci=4neoTi,TO действительно Cii06>Ci, так как- - - > г\.
фш фоб = ф2 , или
_j!_==jL ,
4яе0 R С2
(8)
Из уравнений (3), (4), (7) и (8) находим:
262
q\ = r C'2-r (С'Ф' + Ч*У> Я\ = 0,46 нКл;
О |,об "Г ^2
rt = Г -С1г (С-Ф> + 92); 92 = 0,20 НКл.
О I,об "Г ^2
в) При подключении ко второму шару незаряженного плоского конденсатора
емкостью Сз, соединенного с землей, часть заряда шаров перейдет на
пластину конденсатора и потенциалы на шарах и незаземленной пластине
выравнятся. На заземленной пластине появится заряд, равный по модулю
заряду первой'пластины, но противоположный ему по знаку.
Согласно закону сохранения заряда
<7i + <72 = + <72 + <7з, (9)
где qi, q2, q'3 - заряды на шарах и конденсаторе после того,
как система придет в равновесие. Разность потенциалов между обкладками
конденсатора станет при этом равна разности потенциалов между шарами и
землей, т. е. U[ = U2 = Йз, или с учетом того, что потенциал земли равен
нулю:
ф!=ф2 = фЗ- (Ю)
Связь между зарядами тел и их потенциалами устанавливается посредством
формулы электроемкости:
<71 = С, ф1; <72 = С2Ф2; <7з = Сзфз- (И)
Из уравнений (9), (10), (11) и (4), считая все емкости
известными и учитывая числовые значения заданных величин, находим:
9' = г л. г' л. г (С,(Р1 + 9г); <71 ~ 0,15 нКл;
С/1 + 0 2 "Г 03
92 = г иг2л.г (С|Ф' + 92); 92 ~ 0,20 нКл;
Cl С2 ~Г Сз
Ч'3 ^ F~Z~F~L г" (^'Ф1 + 92); 9з " 0,34 нКл.
С 1 + С2 -f- Сз
Пример 8. Конденсатор выполнен в виде двух концентрических сфер, радиусы
которых равны г = 2сми/? = 6 см. Внутренняя сфера испускает с каждого
квадратного сантиметра поверхности п=1010 электронов в секунду с
начальными скоростями Vo - 103 м/с. Через какое время после начала
испускания электронов заряд на конденсаторе перестанет возрастать? Заряд
электрона и его массу считать известными.
Решение. Допустим, что в начальный момент времени, когда эмиссия
электронов еще не началась, сферический конденсатор был не заряжен. Тогда
при излучении электронов с поверхности внутренней сферы заряд на
конденсаторе станет возрастать вследствие перераспределения.электронов
между обкладками.
263
Внутренняя сфера будет заряжаться положительно, внешняя - отрицательно.
По мере накопления электронов на внешней сфере электрическое поле между
обкладками будет увеличиваться. Это поле направлено от меньшей сферы к
большей и тормозит движение электронов. Напряженность поля и заряд на
конденсаторе увеличиваются до тех пор, пока между сферами не возникнет
