Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
увеличиваться, и в некоторый момент времени скорости частиц окажутся
одинаковыми, Нетрудно сообразить, что в этот момент расстояние между
частицами будет минимальным, скорость частиц относительно друг друга
станет равна нулю. В следующий момент времени скорость ядра окажется
больше скорости протона и они, продолжая двигаться в одну сторону, начнут
удаляться друг от друга. Двигаясь замедленно, протон в некоторый момент
остановится и затем начнет двигаться ускоренно в противоположную сторону.
В результате соударения протон передает часть своей механической энергии
ядру и улетает от него в бесконечность. Основное отличие данного случая
от предыдущего состоит в том, что в момент наибольшего сближения частицы
имеют некоторую скорость и здесь фактически происходит неупругий удар
двух тел. Решение задач такого типа основано на использовании закона
сохранения импульса и закона сохранения и превращения энергии.
Как и в первом случае, рассмотрим два состояния системы: первое - когда
частицы удалены друг от друга на большое расстояние, второе - в момент
^наибольшего сближения, когда они имеют одинаковые скорости^. В первом
состоянии ядро покоится, протон имеет импульс mv о, во втором - импульс
системы равен mv\ -j- 4mui. По закону сохранения импульса
mv0 = mv\ + 4mui, откуда ai=-y. (1)
Переходим теперь к составлению уравнения- закона сохранения и превращения
механической энергии. Кинетическая энергия системы протон - ядро в первом
состоянии равна Wi =
mv о т V7 5та? л
- в0 втором W2 - -~. При переходе системы из первого
2
состояния во второе силы поля совершают работу А = ---
2л&о f
(такую же, как и в первом случае!).
Согласно закону сохранения энергии
<72 5mz>i mv jj .г,,
2явоГ " 2 2 ' ^
Из уравнения (2) с учетом соотношения (1) получаем, что минимальное
расстояние, на которое сближаются частицы при столкновении, равно:
; г = 4,3 • 1(Г10 м.
4 ЯЕо/ПОо
Пример 6. Небольшой металлический шарик массой т, подвешенный на нити
длиной /, колеблется по закону математического маятника над бесконечной
равномерно заряженной горизонтальной плоскостью с плотностью заряда о.
Определите
259
период колебаний маятника при условии, что на шарике находится заряд -q.
Решение. Гармонические колебания шарика происходят в однородном
электрическом поле, созданном равномерно заряженной плоскостью. Это поле
действует на отрицательно^заряжен-ный шарик силой F и сообщает ему
постоянное ускорение а, направленное вертикально вниз. Поскольку шарик
колеблется по законам математического маятника и его смещением по
вертикали можно пренебречь, с достаточной степенью точности можно
считать, что под действием поля сила натяжения нити возрастет на величину
F и модуль создаваемого ею ускорения увеличится от g до g + а. Период
колебаний такого заряженного математического маятника равен:
Т = 2п \/--- . (О
V g + а
Модуль ускорения а, вызванного постоянным электрическим полем, определяем
из основного уравнения динамики материальной точки:
а = -
m
Сила, действующая на_ шарик с__зарядом q в электрическом поле с
напряженностью Е, равна F = qE. Или, поскольку нам задана поверхностная
плотность зарядов а на равномерно заряженной плоскости и колебания
происходят в вакууме (е=1), согласно формуле (11.5) будем иметь:
Е =~ , и, следовательно, F = .
2во 2&0 f
С учетом последнего равенства основное уравнение динамики можно
представить так:
qo
2ео /и
(2)
В уравнениях (1), (2) все величины, кроме Т и а, заданы. Решая их
совместно относительно периода колебаний заряженного шарика,'получим:
¦ 2л у'-
?0/Ш
2ео gm + Яа
Пример 7. Металлический шар радиусом п = 2 см, заряженный до потенциала
<pi = 30 В, соединили тонкой длинной проволокой с шаром емкостью Сг = 3
пФ, на котором находится заряд <72 = 0,6 нКл. а) Какова будет
поверхностная плотность зарядов на шарах после перераспределения зарядов?
б) Каким станет заряд на шарах, если первый шар поместить в центр
проводящей оболочки радиусом R = 3 см, соединенной с землей?
в) Каковы будут заряды на шарах, если ко второму шару под-
260
ключить незаряженный плоский конденсатор емкостью Сз = 5 пФ, одна из
пластин которого заземлена?
Решение, а) Если заряженные тела имеют разный потенциал, то при
соединении их проводником заряды будут переходить с одного тела на другое
до тех пор, пока потенциалы тел не станут одинаковыми. Решение задач по
электростатике, где рассматривается перераспределение электрических
зарядов между телами или конденсаторами, удобно начинать с записи закона
сохранения заряда и равенства потенциалов тел после того, как система
приходит в равновесие.
При всяком перераспределении зарядов в изолированной системе, какой
являются в данном случае заряженные шары, сумма зарядов остается
неизменной. Поэтому если до соединения шаров их заряды равнялись <71 и
<72,- а после соединения q\ и <72, то согласно закону сохранения зарядов
должно быть.
qi + <72 = <71 + <72. (1)
При равновесии зарядов на шарах, соединенных проволокой, потенциалы шаров
