Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
W11 (к, к') = W0 (к, к')Лі (к, к') [N0б (E1 (k') - E1 (к) - Im0) +
+ (N0 + 1) б (E1 (k') - E1 (к) + Tko0)], (16.20)
W21 (к;, к) = W0 (к, к') F21 (к, к') IN08 (E1 (к) - E2 (k') - Iua0) +
+ (N0 + 1) б (E1 (к) - E2 (k') + Two0)], (16.21)
W12 (к, к') = W0 (к, к') F12 (к, к') [iV0o (E2 (k') - E1 (к) - foco0) +
+ (N0 + 1)6 (E2 (k')-E1 (к) + JMB0)], (16.22)
где, согласно (11.53) и (11.75), W0(к, к') для неполярных и полярных оптических фононов дается выражениями
wr(k, к') - WF = Д- (^)2, (16.23)
W1T (к, к') = ^-5*-,. (16.24)
Из вышеприведенных формул видно, что для механизмов рассеяния на акустических и неполярных оптических фононах вероятности перехода являются четной функцией к', в частности, W11 (к, к') = W11 (к, -к') и W21 (к', к)= W21 (-к', к). Поэтому при таких механизмах рассеяния приход из других состояний в к-состояние не играет роли и тй' = 0, что видно из (16.10), 490 поскольку /2 (k') —' к', а равновесные функции являются четной функцией к'. По этой причине в (16.8) второй член исчезает и Tf11 не содержит неизвестной функции /i (k). В результате при рассеянии на акустических и неполярных оптических фононах, если не пренебречь неупругостью и дисперсией оптических фононов, то выполняются условия (16.11) и система (16.7) распадается на два самостоятельных уравнения для /i (к) и /2 (к):
Dfi (к) = - /'і (к)/ть і = 1, 2, (16.25)
где Tt и T2 имеют смысл времен релаксации тяжелых и легких дырок, которые определяются уходом из k-состояния в к'-состоя-ния в данной зоне Tii и уходом в другую зону т12:
!,T1 = 1/тп + 1/т12, 1/т2 = 1/т22 + 1/т21, (16.26)
где
^ = 2^(^)4??! ' (16.27)
F /
a T12 дается формулой (16.9); T22 и T21 получаются из (16.27) и (16.9) заменой 1=^2.
В случае рассеяния на акустических фононах, как известно, процесс можно считать упругим, и тогда, согласно (16.26), (16.9) и (16.27),
тГ1 = 2 [W711 (к, к') + PF12 (к, к')]. (16.28)
к'
Подставляя в (16.28) выражения вероятности (16.15), (16.16) и (16.18) и интегрируя по к', согласно (2.15), с использованием закона сохранения энергии, для времени релаксации тяжелых дырок получим выражение *)
! ^l(2V)3-2 fmS/2 , »/2 W В у/2 т т 4ЯЛХ { 1 + 2 j^1 " ( '
о
Аналогичный расчет для времени релаксации легких дырок т2к точно приводит к результату (16.29). Таким образом, в приближении сферических зон (16.1) учет межзонных переходов выравнивает времена релаксации тяжелых и легких дырок прп рассеянии на акустических фононах T1" = т2ь. Отсюда вытекает,
ЭК / /
ЧТО отношение ПОДВИЖНОСТеЙ U1Ju2 = (X1 У /TTl1- Tll2/<Т2 ) = TTl2Im1 в соответствии с экспериментом [35].
В случае рассеяния на неполярных оптических фононах, суммируя (16.27) и (16.9), учитывая (16.20) и (16.22) и интегрируя по к', так же как и при переходе из (11.56) в (11.57), для
*) Рассеяние на акустических фононах более подробно рассмотрено в [67].
191" времен релаксации тяжелых дырок с учетом межзонных пере ходов получим выражение
я ?L_(mfs + mf) nO
опт
2 1/2 рa V3 fO (Єі)
A.CO
о
К ехр I ^ j (Єї + Ь>0)1/2 + U ІЧ - K(O0) (Ч - ft»o)1/2
/о (8I + Й®о) X
. (16.30)
Выражение для времен релаксации легких дырок Tgnx из (16.30) получится заменой 1 =^ 2. Из этого следует, что и в случае рассеяния па неполярных оптических фононах средние значения времен релаксации для тяжелых и легких дырок с учетом
/ оптч
процесса ухода из одной зоны также выравниваются: (T1 > = = (Т21т>- Это обеспечивает правильность соотношения иJU2 = = TnJml.
Еще в одном случае система уравнений (16.7) распадается на два уравнения (16.25), только по другой причине. Действительно, при рассеянии на полярных оптических фононах в области пизкнх температур, когда к0Т <С ^co0 (е <с №0), возгиожен только один процесс: уход из k-состояния с поглощением оптических фононов є (k') = є (k) + Tico0 и невозможен приход в к-со-стеяяие. Поэтому, в частности, вероятности перехода из зоны легких дырок в зону тяжелых дырок и наоборот равны нулю: H721 (k', к) = 0, H7i2 (к', к) = 0 и выполняется условие (16.11), следовательно, (16.7) переходит в (16.25). Легко можно показать, что и в этом случае времена релаксации легких и тяжелых дырок равны: T1 = т2.
Таким образом, при рассеянии на акустических, неполярных оптических п на полярных оптических фононах в области низких температур (Zc0T7-Cfoco0) функции распределения тяжелых п легких дырок /1 (к) и /2 (к) определяются самостоятельно из уравнений (16.25), а их времена релаксации равны между собой, если предположить, что они имеют изотропный закон дисперсии (16.1).
Теперь рассмотрим случай, когда система (16.7) не распадается на отдельные уравнения. Это имеет место при рассеянии на попах примеси, на пъезоакустических фононах и на полярных оптических фононах в области высоких температур (к0Т Йсо0). Действительно, из (16.17), (16.19) и (16.24) видно, что И7(к, к')?=W(к, —к'), и поэтому, как следует из (16.27),^=^0.
Однако, поскольку указанные механизмы рассеяния носят упругий или квазиупругий характер, то величины T11, т2(, та2 и T12 не зависят от неизвестных функций Z1 (k), /2 (к), и их можно вычислить (см. § 9). Тогда (16.7) хотя и остается системой, но она уже становится системой дифференциальных уравнений, которую легко решить. В случае упругих механизмов рассеяния
