Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
В случае анизотропного спектра рассеяние носителей заряда определяется не одной константой Деформационного потенциала, а тензором констант деформационного потенциала, не скалярной эффективной массой, а 'компонентами тензора эффективной массы. Теория анизотропного рассеяния именно для этого случая была развита-в работах Херринга и Фогта [4], Самойловича с ,сотрудниками [14, 15]. Результаты последних работ подробно изложены в монографии [16]. В этих работах вычисление компо-
206" ненты тензора времени релаксации в п-Ge и га-Si при рассїянии на акустических фононах и на ионах примеси.
Явления переноса в полупроводниках с анизотропным непараболическим законом дисперсии в приближении тензора времени релаксации рассмотрены в работах [17—19]. К таким , полупроводникам относятся халькогениды свинца: РЪТе, PbSe1 PbS.
В данной главе коротко изложена теория'электронных явлений переноса в полупроводниках с анизотропной зоной при анизотропном рассеянии описываемым тензором времени релаксации. Учтена непараболичность анизотропной зоны и предположено, что степень вырождения носителей заряда произвольна. Полученные здесь результаты применимы как к п-Ge, n:Si, так и к халькогенндам свинца: PbTe, PbSe и PbS.
§ 18. Решение кинетического уравнения
для анизотропной зоны
в приближении тензора времени релаксации
Рассмотрим для определенности электронный полупроводник со многими минимумами в энергетическом спектре, причем изо-энергетическая поверхность вблизи каждого минимума представляет собой эллипсоид общего вида, описываемого уравнением
kl kl kl
fiW-Thr + / + ^. (18-1)
mOl m02 m03
где mot — компоненты эффективной массы на дне зоны проводимости, Б (г) — любая гладкая функция энергии є. В частности, для n-Ge и n-Si В(г)=е, для хал'ькогенпдов свинца (РЪТе, PbSe, PbS), согласно (3.39) В (г) = є (1 + (є/е?)), а для всех указанных полупроводников та1 = таг = та±, таз = тоь т. е. (18.1) является эллипсоидом вращения (см. § 3, п. 2, 6).
В главных осях эллипсоида, естественно, тензор эффективной массы будет диагоналей:
mTh = rrIT1Sihi (18.2)
где Tni — диагональные компонепты эффективной массы, связывающие компоненты скорости її импульса:
Vi = Tr1 (дв/дк{) = Uifmi. (18.3)
В-общем случае mT1 =(IfT^ki) (дг/дк) зависит от энергии и эта зависимость определяется функцией В (в):
т,(г) = moi (dB (є) /де). (18.4)
1. Решение кинетического уравнения. Если ограничиться упругим рассеянием (є = є'), то, согласно принципу детального равновесия (9.3), W(k, k') = W(k', к), и кинетическое уравнение
207 (8.11) можно переписать в виде
vVr/-^(E04-l[vH]) Vk/ = 2w(k, к')(/(к')-/(к)), (18.5)
решение которого представим как
/СО — fo(k)~ (dfa/де) (vP(e)), (18.6);
где P(є)—неизвестный вектор, подлежащий определению, имеет смысл импульса обобщенной силы [см. формулы (9.40) и (9.38)].
Подставим (18.6) в правую часть (18.5) и введем обратный тензор времени релаксации т"1 следующим образом:
SW(к, к')(/(к')-/(к)) = к'
= - Kr)р <е> 2 w (к'к') <v' -v) Wo/W (р (^lv))- (18-7)
Тогда в линейном приближении уравнение (18.5) примет вид WrZ0 - J E0VkZ0 + ? ™ <vP (?)) = (S2) (Р (18-8)
В системе, связанной с главными осями эллипсоида (18.1), тензор времени релаксации т, в соответствии с (18.2), должен быть диагонален, т. е.
Tift = TjSift. (18.9)
Преобразуем множитель Vk (vP) в (18.8). Для этого введем единичный вектор п в k-пространстве. Тогда
Vk (VP) = 2 яГ W = 2 { pP W + yP ]' (18Л0)
a? а a? \ а altaJ
где па — компоненты единичного вектора в к-пространстве.
Если учтем (18.3) и dv$ldka = (ії/тп$) Sag, то (18.10) можно представить в виде
Vk (vP) = % (Sr1P) + ftv 2 Ур (dPfifde), (18.11)
P
где то-1 — диагональный тензор обратной эффективной массы (18.2).
Подставляя (18.11) в (18.18) и учитывая (9.13) и (9.14), для вектора Р(е) получим уравнение
уф0 + (е/с) v[H (m-'P) ] = (Р (X-iY)), (18.12)
где Ф0 — обобщенная возмущающая сила (9.16).'
Для решения векторного уравнения (18.13) удобно P (є) представить в виде
Р(е)' = (г-'Ф(е))'. (18.13)
208" Тогда с учетом диагональности тензора т (18.9), правая часть (18.12) будет иметь вид
(Р(т-Ч)) = (Фу). (18.14)
, Учитывая последние два соотношения и сокращая на v Ф О, из (18.^2) для Ф(е) получим уравнение [ср. с (9.47)]
Ф0 + -j [Hm-1 (тФ)] = Ф. (18.15)
Решая это уравнение с учетом диагональности тензоров тп и т (18.2) п (18.9), можно найти компоненты вектора Ф(е). В результате для нужного нам вектора P (г) (18.13) имеем компактное решение
P(E) = —Ц(їФ„ + [Нт-ЧтФо)! + 4Щ(НФ0)(тН)], 1 + V^ [ с I т I J
(18.16)
где
vo2 = 4 ш-(тн) (t-1H), (18.17)
С I т I
a ItI=T1T2T3, Iml=Tn1Tii2Jn3 — определители диагональных тензоров времени релаксации т и эффективной массы т.
Отметим, что в случае скалярных эффективной массы и времени релаксации (18.16) Сводится к известному решению (9.40) .с (9.50).
2. Плотность тока. Решение (18.16) дает возможность вычислить плотности тока и потока энергии в самом общем случае анизотропного спектра и рассеяния в произвольном магнитном поле.
