Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
187" — левая часть кинетического уравнения (8.11), записанная для дырок, а интеграл столкновения с учетом межзонных переходов имеет вид
I (/i, U) = 2 [W11 (к\ к) А (к') [1 - Z1 (к)] - W11 (к, к') /,(к) X к'
X [1 - I1 (к')]} + 2 {^21 (к', к) и (к') [1-А (к)]—т^13 (к, к')Л(к)х
X [1 - L (к')]},
(16.5)
где первая сумма учитывает переходы в пределах зоны тяжелых дырок, а вторая сумма описывает переходы между зонами тяжелых и легких дырок; W11, W12, W21 есть соответствующие вероятности перехода. Интеграл столкновения /(/2, Л) из (16.5) получается взаимной заменой индексов 1 ^ 2.
Как обычно, неравновесные функции распределения дырок представим в виде
/i(k) = /i0(k)+/i(k)f і = 1,2, (16.6)
причем /i (к) <С/іо (к), где /і0 (к) —равновесная функция распределения для дырок, /i (к) — неравновесная добавка.
Подставляя (16.6) в (16.5) и в соответствующее выражение I Uu Л) и /(/2, /і), учитывая принцип детального равновесия тина- (9.2) и ограничиваясь линейными по неравновесной добавке U (к) членами, для правых частей системы уравнений (16.3) получим следующий явный вид:
Df1 (к) = - /; (к)/тп - /; (к)д;2 + /; (к)/т21, Df2 (к) = - f'2 (к)/таа - /2 (к)/х'21 + /і (к)/тх где введены обозначения
-Лп(^)
Ч2>
(16.7)
Г" = 2 W11 (к, к')
rIi к?
iT- = J1W12 (к, к')
1
1 -Z10 (Л)
hо (к)
Z1 (к') к„(к'> /;(к)
= 2^ (к', к)
і
і-/.
Vk> '
10
(к) /а(к')
"21
о(к') /; (к)
(16.8) (16.9) (16.10)
а выражения для т22, T2i и Ti2 получим из (16.8) — (16.10), если в них поменять местами индексы 1^2.
Отметим, что t11, T12 и t2I {соответственно т22, T21 и Ті2і) в отдельности есть просто обозначения и в общем случае не имеют смысла времени релаксации. Более того, X11 и t21 (а также T22 и т12) содержат неизвестные функции /1 (к) и /2 (к). Поэтому в общем случае (16.7) остается системой интегродифференциаль-ных уравнений.
188 ' - ' ' Как видно из (16.7), уравнения для /і (к) и /2 (к) зацепляются и составляют систему только за счет величин T^i1 и %12, которые связаны с приходом дырок из другой зоны: для Д (к) приход из зоны легких дырок в зону тяжелых дырок [первый член во второй сумме в (16.5)], а для /2(к) приход пз зоны тяжелых дырок в зону легких дырок.
В том случае, когда приход из другой зоны невозможен или не играет роли,
T211 = О, Tr21 = о (16.11)
и система (16.7) распадается па два самостоятельных уравнения для /1(к)и/2(к). Очевидно, выполнение (16.11) зависит от характера рассеяния, т. е. от вида вероятности перехода W2l(к', к) її JF12(к', к).
Рассеяние дырок в полупроводниках типа ^-Ge с учетом вырождения валентных зон рассмотрено в работах [65—67]. Было показано, что в предположении изотропности валентных зон (16.1) учет базисных волновых функций дырок в вероятности перехода приводит к дополнительному множителю, зависящему от угла между к и к'. Этот множитель один и тот же как для рассеяния на фононах [38, 39], так и для рассеяния на ионах примеси [40]. Так, например, для рассеяния внутри одной зоны
Wn(k, k')=W(k, k')Flt(k, k'), (16.12)
а для рассеяния между зонами
Wtl(k', k)=W(k\ k)Fzl(k, к'), (16.13)
где
Fu (к, к') = -I [1 + 3 (к'к/ВД, F21 (к, к') = 1 - F11 (к, к'),
(16.14)
а вероятности перехода W(к, к') для различных конкретных механизмов рассеяния приведены в формулах (10.28), (11.41), (11.53), (11.75) и (11.100).
2. Расчет времени релаксации дырок с учетом межзонных переходов. Изложенная в этом параграфе теория явлений переноса применима не только для ^-Ge и ^-Si. Она справедлива также и для многих полупроводников A111Bv т?-типа, в частностп ^-InSb, так как структура края валентной зоны у них почти одинакова (см. § 3), если не учитывать непараболичность зоны легких дырок в полупроводниках типа InSb. Поэтому мы здесь проанализируем не только механизмы рассеяния, доминирующие в Ge и Si (ионы примеси, акустические и неполярные оптические фононы), но и другие механизмы, такие как рассеяние на полярных оптических фононах и на пьезоакустических фононах.
Для упругих и квазиупругих механизмов рассеяния на ионах примеси, на акустических и пьезоакустических фононах вероят-
189" пости переходов в пределах одной зоны (16.12) и между зонами 416.13) можно представить в виде
W11 (к, k') = W0(k, к')-F11 (к, k')6(ei(k')-ei(k)), (lfcl5)
W12(к, к') = W21 (к', к) =
= W„(k, к').F21 (к, к')б(е2(к')-Єі(к)), (16.16)
где только W0 (к, к') различны для разных механизмов рассеяния. Согласно (10.28), (11.41) и (11.99) величины W0(к, к') имеют следующие значения при рассеянии на ионах примеси, акустических и пьезоакустических фононах:
WT (= -г-^Г, (16.17)
0 v ' п V { и У [(k'-k)2 + r~a]a V '
WT (к, к) = WT= 2^ Iy^J (16.18)
Wf (k, k= (16.19)
A7np — концентрация ионов примеси; для акустических фононов предполагается, что легкие и тяжелые дырки имеют одинаковую константу деформационного потенциала.
Нри неупругом рассеянии на оптических фононах соответствующие вероятности перехода без учета дисперсии частоты имеют вид
