Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Неравновесную функцию распределения фононов Nq нужно определить из кппетического уравнения
- (ONqIdt) поле + (ON4Idt)m = 0, (17.2)
где
(ONqIdt)aoae = VgVrTVq, (17.3)
a vg = i;0(q/q) — групповая скорость длинноволновых фононов, V0 — скорость звука.
Релаксация фононной подсистемы, выведенной из равновесия температурным градиентом, вообще говоря, определяется рассеянием фононов на фононах, фононов на границах образца и фо-HOHOjp/иа носителях заряда. Поэтому в общем случае столкнови-тельный член в (17.2) зависит и от неравновесной функции электронов проводимости /(к), а уравнения (17.1) и (17.2) следует решать совместно, как систему уравнений для функции распределения электронов проводимости /(к) и фононов ZVq. Однако, если предположить, что частота фонон-фононных столкновений намного больше, чем частота столкновений фононов с носителями заряда,' то релаксация фононов будет определяться в основном рассеянием фононов друг на друге. При этом, если ввести время релаксации длинноволновых. акустических фононов Тф(q), т. е. если столкновительный член представить как
(ONqIdt)c, = N^y4 (q), (17.4)
то уравнение (17.4) с учетом (17.3) будет иметь вид
V8VrNq = (Nq - ^0))/тф (д), (17.5)
где 7V(g0) = [ехр (Ti(Hqfk0T) — Ip1 — равновесная функция распределения фононов.
Таким образом, при предположении о том, что фоион-элект-ронные столкновения в релаксации фононов не играют роли, неравновесная функция распределения фононов Nq находится из самостоятельного уравнения (17.5). По-видимому, это предположение хорошо выполняется в полупроводниках, где концентрация носителей не так велика.
198" Для неравновесной функции распределения положим
' Nq = N^+ N'q, '(17.6)
где Nq — малая неравновесная добавка к функции распределения фононов, которая, естественно, пропорциональна градиенту температуры. Подставляя (17.6) в (17.5), в линейном приближении получим
К = (Vo4Ig) (dN^/dT) (qVT). (17.7)
Подставим неравновесные функции распределения электронов проводимости (9.4) и фононов (17.6) в правую часть (17.1). Тогда кинетическое уравнение (17.1) символически примет вид*)
Df^ I (Z1) + / Z1) + I (Nq, Z0) + I (Nq, Z1). (17.8)
Здесь последний член соответствует рассеянию неравновесных электронов на неравновесных фононах. Этим членом можно пренебречь как величиной второго порядка малости. В правой части первые два члена есть пнтеграл столкновения неравновесных электронов на примесях и на равновесных фононах. В упругом приближении они выражаются эффективным временем релаксации электронов проводимости т, т. е.
1(h)+ I(Niq0Kl1) = -UlT, ' ,(17.9)
где т — эффективное время релаксации, описывающее столкновения электронов проводимости с примесями и равновесными фононами, которое вычислено в §§ 10 и 11. Если (примесное рассеяние отсутствует, то т = так.
Третий член в правой части (17.8) соответствует взаимодействию равповесных электронов с неравновесными фононами и определяет эффект увлечения электронов фононами, его мы обозначим как I (Nq, /0) = /(j(iVq, /0).
В результате кинетическое уравнение электронов проводимости (17.8) в линейном приближении с учетом эффекта увлечения электронов фононами приобретает вид
Df = - Zi/т + /ф (Nq, Z0). (17.10)
Теперь найдем явный вид 1ф (Nq, f0). Учптывая (11.34) и (17.6) в правой части уравнения (8.11), для /ф (N4, Z0) получим выражение
h (К /о) = 2 ы>1 (д) Nq [Z0 (k') - Z0 (к)] {б (г,, - гк + Пщ) 6k,,k_q +
k'q
+ 6(efc/ — Zk — H(Oq) бк.к+q}, (17.11)
которое справедливо для полупроводников с произвольной степенью вырождения.
*) При получении (17.8) мы использовали принцип детального равновесия (9.2), т. е. учли, что I (/0) + I fQ) = 0.
199" В случав рассеяния на пьезоакустических фононах Wi (q) следует заменить на wpz(q) из (11.99).
Из (17.11) следует, что если пренебречь неупругостью взаимодействия электронов с фононами, то Iф (Arq, /0) = 0, т. е. увлечение отсутствует. Поэтому мы должны частично учитывать неупругость, а именно, полагать, что #
Z0 (k') = /0 (k) + (3f0 (к)/дгк) (гк, - гк). (17.12)
Учтем закон сохранения энергии tv = eA їгщ в этом выражении и после этого пренебрежем энергией фононов в аргументе б-функций в (17.11). В результате из (17.11) имеем
7ф (N'q, /0) = 2 "7I (?) N4~J~twq (8k',k + q — 6k',k-q) б{Ч' ' Ч)-k'q 'ft
(17.13)
Во второй сумме в (17.13) заменим q -*¦ —q и, согласно (17.7), учтем, что N_q = — A^q. Тогда получим
h (К /о) = 2 Iwx (q) Nq ^ йсодб (ehr - Bh) ot,,k+q. (17.14)
Подставим (17.7) в (17.14) и учтем, что сOq = vbq и v(k) = — Тгк/т{г). В результате (17.14) легко можно представить в виде
7Ф«, /о) = (3/о/Зе)(тФоф(е)), (17.15)
где
Ф0ф(є) = -Аф(г)к0УТ (17.16)
есть статистическая сила увлечения, а безразмерная величина
Ail (г) = —H ? Щ (q) тф (q) 1 - — 6 (e„» — eA) 6q,k,_k.
k Ф«/ dT Iі ft2
0 k'q \ K .
(17.17)
Если использовать явное выражение Df как левую чъсТь (8.11), то в линейном приближении кинетическое уравнение (17.10) можно представить в виде
у (k) Vr/0 - f E0VftZo - ц [V (к) Н] VftZ1 = + (N'q, Z0).
