Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
оно перекрывается не зависящим от температуры вкладом в сопротивление за счет рассеяния на дефектах (который при достаточно низких температурах всегда становится преобладающим).
При выводе закона Ть мы предполагали, что фононы находятся в состоянии теплового равновесия, тогда как в действительности при наличии тока распре-
цессы переброса представляют собой процессы, в которых отличен от нуля аддитивный вектор обратной решетки в законе сохранения квазиимпульса. Как подчеркивалось в гл. 25, такое различие зависит от выбора примитивной ячейки. Для электрон-фононного рассеяния решающую роль играет то обстоятельство, могут ли малые изменения квазиимпульса электрона (возможно, с точностью до аддитивного вектора обратной решетки) приводить к большим изменениям скорости электрона. При такой постановке вопроса критерий процесса переброса не зависит от выбора примитивной ячейки.
154
Глава 26
деление электронов имеет неравновесный характер; следовательно, за счет электрон-фононного рассеяния распределение фононов также не будет равновесным. Предположим (взяв простейший случай), что поверхность Ферми расположена внутри первой зоны Бриллюэна. Определим процессы переброса как процессы, в которых не сохраняется суммарный квазиимпульс, при условии, что отдельные волновые векторы электронов и фононов задаются в примитивной ячейке, совпадающей с первой зоной Бриллюэна. Если суммарный квазиимпульс объединенной электрон-фононной системы был отличен от нуля в начальный момент времени, то в отсутствие процессов переброса он оставался бы отличным от нуля во все последующие моменты времени, даже когда нет электрического поля *), и поэтому электрон-фононная система не могла бы прийти в полное термодинамическое равновесие. Вместо этого электроны и фоно-ны совершали бы совместное дрейфовое движение, сохраняя отличные от нуля квазиимпульс и электрический ток.
Металлы (свободные от дефектов) обладают конечными проводимостями только потому, что в них могут происходить процессы переброса. Именно они уменьшают суммарный квазиимпульс и делают возможным затухание тока в отсутствие вынуждающего его электрического поля. Если, однако, поверхность Ферми целиком помещается внутри первой зоны, то существуют минимальные волновой вектор и энергия фонона (фиг. 26.5), ниже которых процессы переброса происходить не могут. Когда величина квТ гораздо ниже такой энергии, число фононов, способных участвовать в этих процессах, должно стать пропорциональным ехр (—Л<аш^1квТ) и поэтому сопротивление должно падать как экспонента от ИТ.
ЗАДАЧИ
1. Более детальный анализ закона дисперсии фононов в металле
При выводе соотношения Боыа — Ставера (26.8) мы рассматривали ионы как точечные частицы, взаимодействующие только посредством кулоновских сил. В более реалистической модели ионы следовало бы рассматривать как протяженные в пространстве распределения заряда и учитывать непроницаемость ионной сердцевины с помощью эффективного ион-ионного взаимодействия, дополняющего кулоновскую силу. Поскольку отталкивание между сердцевинами ионов является короткодействующим, оно не создает никаких трудностей при обычном рассмотрении колебаний решетки и может быть описано динамической матрицей 0°, подобно] тому как это было сделано в гл. 22. Поэтому мы можем изучать колебания решетки в металлах с помощью методов гл. 22, учитывая лишь, что полная динамическая матрица О равна Ос плюс член, обусловленный кулоновским взаимодействием между ионными распределениями заряда с учетом экранировки его электронами.
Пусть ион в точке И + и (И) имеет распределение заряда р [г —- И — и (К)1, так что электростатическая сила, действующая на него, дается выражением
| сггЕ(г)р[г- К — и (В.)],
где Е (г) — уменьшенное из-за экранировки электронами 2) электрическое поле, создаваемое всеми другими ионами, плотность заряда которых равна
2 р[г-В'-и(11')].
х) Ср. с очень похожим обсуждением теплопроводности диэлектриков в гл. 25.
2) Теория экранировки, излагавшаяся в гл. 17, была основана на предположении, что внешний потенциал является для электронного газа всего лишь слабым возмущением. Поскольку это не справедливо для потенциала ионов, соотношение вида ф^оШ (ц) = = (1/е) ф1°п ^) строго уже не выполняется. Можно найти линейное соотношение между отклонениями полного и ионного потенциалов от их равновесных значений. Чтобы получить его, однако, необходимо взять в качестве системы, возмущаемой ионами, не газ свободных электронов, а газ электронов в присутствии полного равновесного периодического потенциала. Формула, описывающая экранировку, оказывается поэтому более сложной. Подобные дополнительные трудности часто характеризуют как «эффекты зонной структуры». Мы пренебрегаем ими в* настоящей задаче.
Фононы в металлах
155
а) Разложите это дополнительное электростатическое взаимодействие по степеням ионных смещений и и, считая, что электронная экранировка описывается статической диэлектрической проницаемостью *) е (ц), покажите в линейном по и приближении, что динамическую матрицу, входящую в формулу (22.57), теперь следует взять в виде
