Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
С учетом этих двух замечаний можно заключить, что при температурах Т <С ® в полная частота электрон-фононного рассеяния уменьшается пропорционально Г3:
(26.49)
Однако низкотемпературное электрон-фононное рассеяние представляет собой один из случаев, когда скорость, с которой происходит уменьшение тока, не просто пропорциональна частоте рассеяния. Это связано с тем, что при Т <С © d каждый отдельно взятый однофононный процесс может изменить волновой вектор электрона лишь на очень малую величину, а именно на волновой вектор участвующего в нем фонона, который мал по сравнению с кD и кF. Если электронная скорость v (к) не испытывает больших изменений между точками поверхности Ферми, разделенными очень малым вектором q, эта скорость также не будет сильно меняться в отдельном акте рассеяния. Таким образом, при понижении температуры рассеяние все в большей мере происходит почти без изменения направления, а следовательно, оказывается все менее эффективным в ослаблении тока.
Чтобы сделать отсюда количественные выводы относительно обусловленного рассеянием на фононах сопротивления при низких температурах, воспользуемся анализом, проведенным в т. 1, гл. 16 (стр. 324—326). Там мы показали, что в случае упругого рассеяния в изотропном металле эффективная частота рассеяния, входящая в формулу для сопротивления, пропорциональна среднему по углам от реальной частоты рассеяния, взятой с весом 1 — cos 6, где 6 —
152
Глава 26
угол рассеяния (фиг. 26.3). При очень низких температурах рассеяние на фоно-нах является почти упругим (изменение энергии мало по сравнению с 7ш D) 1) и мы можем довольно уверенно пользоваться этим результатом хотя бы в металлах с изотропными поверхностями Ферми. Поскольку sin (Q/2) = q/2kF (фиг. 26.3), 1 - cos 8 = 2 sin2 (9/2) = V2 (q/k F)2. Ho q = О (квТ/Пс) при T
гораздо ниже в в, что приводит к появлению еще одного, последнего, множителя Т2 в законе изменения сопротивления при низких температурах.
Дополнительный множитель Г2, учитывающий возрастание роли процессов рассеяния вперед при понижении температуры, возникает даже в анизотропных металлах (некоторые исключения обсуждаются в следующем разделе). В сочетании с кубической температурной зависимостью частоты рассеяния он приводит к «закону Блоха Г5»:
р ~ Т\ Т < ев. (26.50)
|q| = ^p5in-|-
модификация закона Тъ при учете процессов переброса
Фиг. 26.3. Рассеяние на малые углы на сферической поверхности Ферми.
Поскольку рассеяние является почти упругим, справедливо соотношение Ь =» к' кр. Когда волновой вектор фонона ц (а следовательно, и угол Э) мал, мы имеем 9/2 та д/2кр.
Появление в сопротивлении при низких температурах множителя Г2, связанного с преобладанием процессов рассеяния вперед, зависит от предположения, что электроны, находящиеся на уровнях с почти одинаковыми волновыми векторами, имеют почти одинаковые скорости. Однако, если поверхность имеет достаточно сложную форму и если возможно межзонное рассеяние, это предположение может уже не выполняться. В таких случаях может происходить эффективное понижение тока, несмотря на то что изменение волнового вектора (но не скорости) мало в каждом из актов рассеяния, поэтому сопротивление при низких температурах может и не убывать пропорционально Тъ.
С одним из наиболее важных примеров большого изменения скорости при малом изменении волнового вектора мы встречаемся в том случае, когда поверхность Ферми почти свободных электронов близко подходит к брэгговской плоскости (фиг. 26.4). Тогда малый волновой вектор ц может соединять точки на поверхности Ферми, лежащие по разные стороны плоскости, и электроны в этих точках имеют почти противоположно направленные скорости. Подобное событие называют «процессом переброса» 2). В рамках модели почти свободных электронов возникающее большое изменение скорости можно рассматривать как результат индуцированного фононом брэгговского отражения 3).
*) Получение формулы (26.50), строго говоря, основано только на том обстоятельстве, что тепловой фонон имеет квазиимпульс, значительно меньший, чем размеры поверхности Ферми (рр). В результате столкновений с фононами электрон диффундирует по поверхности Ферми. Время релаксации (величина, обратная частоте рассеяния) есть время диффузии на величину ~ рг- — Прим. ред.
2) Ср. обсуждение в гл. 25 на стр. 129.
3) Если поверхность Ферми изображена в первой зоне, а не в схеме расширенных зон, то изменение мало лишь с точностью до вектора обратной решетки. Иногда говорят, что про-
Фононы в металлах
153
увлечение фононов
Пайерлс [6] обратил внимание, что при некоторых условиях сопротивление при низких температурах может падать быстрее, чем по закону Тъ. Это поведение до сих пор не наблюдалось в экспериментах, по-видимому, из-за того, что
Фиг. 26.4. Простой процесс переброса.
Волновые векторы к и к + ц отличаются на величину, малую по сравнению с кр (или йв), но скорости V (к) и V (к + ч) не близки друг другу.
Фиг. 26.5. Схема расширенных зон для металла, поверхность Ферми которого целиком содержится в первойзоне Бриллюэна. Здесь 9Ю1П — минимальный волновой вектор фонона, способного участвовать в процессе переброса. При температурах нише той, которая отвечает энергии этого фонона, вклад процессов переброса должен спадать по экспоненте.
