Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Количественная теория температурной зависимости сопротивления, связанного с колебаниями решетки, основана на том, что периодический потенциал системы жестких ионов
*7рег(г) = 2 Г (г-К) (26.43)
в;
есть лишь некоторое приближение к истинному апериодическому потенциалу: г/(г) = 2 Г[г-К-и(К)] = С/рег(г)-2 и (Я). V?" (г —.... (26.44)
в; в;
Разность между этими двумя выражениями можно считать возмущением, которое действует на стационарные одноэлектронные уровни периодического гамильтониана, вызывая переходы между блоховскими уровнями, приводящие к разрушению тока.
Как и обычно в случаях переходов, вызванных колебаниями решетки, их можно рассматривать как процессы, в которых электрон поглощает или испускает фонон (или фононы), изменяя тем самым свою энергию на величину энергии фонона и меняя свой волновой вектор (с точностью до произвольного вектора
1) См., например, т. 1, гл. 12, стр. 218.
150
Глава 26
обратной решетки) на величину волнового вектора фонона. Фактически такая картинаг,рассеяния электронов на колебаниях решетки очень похожа на описанную в гл. 24 картину рассеяния нейтронов на этих колебаниях.
В простейших теориях решеточного вклада в сопротивление металлов принимают, что главную роль в рассеянии играют процессы, в которых электрон испускает (или поглощает) один фонон. Если электронный переход происходит
с уровня с волновым вектором к и энергией на уровень с волновым вектором к' и энергией iff, то из законов сохранения энергии и квазиимпульса 1) следует, что энергия участвующего в процессе фонона должна удовлетворять соотношению
?k = ?k' ±/ko(k-k'), (26.45)
где знак плюс (минус) отвечает испусканию (поглощению) фонона [и где мы предположили, что со (—q) = со (q)]. Это равенство можно рассматривать как ограничение, накладываемое на волновые векторы qфoнoнoв, способных участвовать в однофононном процессе вместе с электроном с волновым вектором к. Действительно, оно дает
co(q) = ±^-[Ik+q-Ik]. (26.46)
Как и в случае рассеяния нейтронов, это требование, будучи единственным ограничением, определяет двумерную поверхность разрешенных волновых векторов в трехмерном пространстве волновых векторов фонона. Фактически, поскольку величина Йсо (q) составляет лишь малую долю от характерных энергий электронов, поверхность разрешенных векторов q при заданном к очень близка к геометрическому множеству векторов, соединяющих вектор к со всеми другими точками на изоэнергетической поверхности e?k< = cfk (фиг. 26.2).
При высоких температурах (Т Э> ® д) число фононов в каждой нормальной моде определяется выражением
n(q) = Rh Л-» *в,Гч • (26.47)
Поэтому полное число фононов на поверхности разрешенных волновых векторов, отвечающей рассеянию данного электрона, прямо пропорционально температуре Т. Поскольку число рассеивателей линейно растет с температурой, так же ведет себя и сопротивление:
(26.48)
) См. приложение Н.
Фиг. 26.2. Построение волновых векторов для фононов, которым законы сохранения разрешают испытывать однофононное рассеяние с участием электрона, обладающего
волновым вектором к. Поскольку энергия фонона не превышает йсов<5: поверхность, которая содержит концы волновых векторов фононов, исходящих из точки к, лишь слегка отличается от поверхности Ферми. При температурах гораздо ниже 0д реально участвовать в актах рассеяния могут лишь фононы с волновыми векторами, концы которых лежат внутри малой сферы диаметром ЬдТ/йс вокруг конца волнового вектора к.
р~7\ Г>в
Фононы в металлах
151
При низких температурах (Т <^ в в) ситуация оказывается гораздо более сложной. Заметим прежде всего, что электроны могут поглощать или испускать только фононы с энергией пса (ц), сравнимой с величиной квТ. Это условие представляется совершенно очевидным в случае поглощения — лишь такие фононы присутствуют в достаточных количествах. Оно справедливо также и в случае испускания. Действительно, электрон, способный испустить фонон, должен находиться настолько выше уровня Ферми, чтобы конечный электронный уровеньДэнергия которого ниже на (ц)] был незанятым; поскольку заня-ты^лигль уровни в слое шириной порядка к ВТ выше Шр, а свободны только уровни в слое шириной порядка кВТ ниже этой энергии, испускаться могут лишь фононы с энергиями Йсо {ц} порядка кВТ.
Гораздо ниже температуры Дебая условие Йсо (ц) ^ квТ требует, чтобы вектор д был мал по сравнению с к в. Для этих фононов со порядка сд, поэтому волновые векторы д имеют порядок квТ1Кс и менее. Следовательно, реально участвовать в процессах поглощения и испускания могут не все фононы с волновыми векторами на поверхности, разрешенной законами сохранения, а лишь фононы с волновыми векторами на малой части этой поверхности, линейные размеры которой пропорциональны температуре Т, а площадь пропорциональна Г2.
Мы приходим к выводу, что число фононов, на которых могут рассеиваться электроны при температурах, значительно более низких, чем температура Дебая, спадает как Тг. Однако частота рассеяния электронов спадает еще быстрее, ибо когда вектор д мал, квадрат константы электрон-фононной связи (26.42) линеен по д. При температурах гораздо ниже в в фононы, играющие важную роль в физических процессах, имеют волновые векторы д порядка квТ/пс, а поэтому вероятность рассеяния (пропорциональная квадрату константы связи) для тех процессов, которые могут происходить, линейно убывает с понижением температуры Т.
