Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
г) Мы считаем поверхность Ферми сферой, так что скорость I;0 постоянна. Верх пий индекс 0 указывает, что величина определена в приближении Томаса — Ферми.
Фононы в металлах
147
Фиг. 26.1. Поправка к зависимости Ш от к для электронов, учитывающая экранировку ионами (электрон-фононная поправка). Эга поправка (тонкая линия) существенна лишь в интервале йм^ около %р, где наклон по сравнению с неисправленной кривой может значительно понизиться.
для свободных электронов и гораздо более важна, чем эффекты зонной структуры или же поправки, обусловленные прямым электрон-электронным взаимодействием *).
3. Когда разность ?к — Ш р больше нескольких На д, справедливо равенство
= (%Г-[±-0 2]• (26.33)
Эти результаты иллюстрируются на фиг. 26.1.
электрон-фононное взаимодействие
Согласно формуле (26.27), при учете ионного экранирования к энергии электрона с волновым вектором к добавляется величина
„ем _*5?!_\(_[йсо(к-к')]* \ /26 34ч
*) При расчете влияния электрон-фоионного взаимодействия на различные одноэлек-тронные характеристики недостаточно просто заменить неисправленную плотность уровней выражением (26.30). Обычно требуется заново провести все рассуждения, учитывая эффективное взаимодействие (26.27). Оказывается, например, что удельная теплоемкость (2.80) получает поправочный множитель (1 + к), тогда как восприимчивость Паули [формула (31.69)] не меняется (см. гл. 31, примечание 1 на стр. 280).
148
Глава 26
на каждый занятый электронный уровень к' (с тем же спином). Существует, однако, иной способ расчета влияния деформации решетки на энергию электронов. Ничего не говоря об экранировке, можно просто рассчитать изменение полной энергии металла за счет того, что электроны (заряженные частицы) могут взаимодействовать с фононами (волнами плотности в заряженной решетке ионов). Если это взаимодействие описывается некоторым гамильтонианом взаимодействия Уер, изменение энергии металла за счет такого взаимодействия будет даваться во втором порядке теории возмущений выражением вида
А^Е'ТЛГ- (26-35)
г
Наиболее важными возбужденными состояниями | ?) можно считать те состояния, в которых электрон, имевший в основном состоянии волновой вектор к, испустил фонон с волновым вектором q, оказавшись после этого в возбужденном состоянии с волновым вектором к'. (Процессы с поглощением фонона при Т = 0 происходить не могут из-за отсутствия фононов. Что касается многофононных процессов, можно показать, что их вклад гораздо меньше.)
Поскольку полный квазиимпульс должен сохраняться х), из этого следует, что с точностью до произвольного вектора обратной решетки справедливо равенство к' + я = к. Энергия промежуточного состояния отличается от энергии основного состояния на энергию добавочного фонона и разность энергий нового и старого электронных уровней:
?г-?0 = 1к.-Нсо(к-к') — 1к. (26.36)
В исходной электронной конфигурации основного состояния каждой паре, состоящей из занятого и незанятого одноэлектронных уровней, может соответствовать по одному такому промежуточному состоянию. Если обозначить через gkl к- матричный элемент оператора Уер между основным состоянием и указанным возбужденным состоянием, то сумма по г в выражении (26.35) равна просто сумме по всем парам волновых векторов занятых и незанятых уровней. В результате получаем
АЕ = 2 (1 - »*') »,-^,-??-10- (26'37)
кк'
Естественно 2) отождествить Vй' в формуле (26.34) с величиной
= а***? • (26-38)
к, к о~ПкГ \ '
Равенство (26.37) тогда дает
^?к'— І?к, к'|2 (^к_^к,_ЙС0(к_к') + «к,-'«к — ы (к'— к)]
--
к#1*[ [йт(к-к"](» + («к-ЯкО*]- (26'39)
Потребовав, чтобы эта формула для эффективного взаимодействия согласовывалась с результатом (26.34), мы можем найти «константу» электрон-фононной
*) См. приложение Н.
2) Это доказательство (не являющееся строгим) отвечает по своему духу подходу Ландау (гл. 17), в котором энергии соответствующих квазичастиц получаются из первой производной величины (26.37) (по числу заполнения), а изменения этих энергий за счет изменения чисел заполнения таких уровней даются второй производной.
Фононы в металлах
149
связи
\іК к'
1 4яе2__1_
у |к—к' |а + а:§ 2
Йсо
к-к'
(26.40)
Наиболее важная особенность найденного результата состоит в том, что в пределе малых | к — к' | величина g2 стремится к нулю линейно по | к — к' (. Записав основанную на модели свободных электронов оценку (26.6) для к0 в форме
4яе2 _ 2%.р
получим
ЕК к'
йш(к—к')%Р _ Лео (к—к')%р
ЗпеУ
|к-к'|<йо.
(26.41)
(26.42)
Тот факт, что квадрат константы электрон-фононной связи стремится к нулю пропорционально волновому вектору фонона, имеет важное значение для теории электросопротивления металла.
ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ ЭЛЕКТРОСОПРОТИВЛЕНИЕ МЕТАЛЛОВ
Мы уже отмечали *), что блоховские электроны в идеально периодическом потенциале могут поддерживать электрический ток даже в отсутствие вызывающего его электрического поля, т. е. обусловленная ими проводимость бесконечна. Конечная проводимость металлов определяется исключительно отклонениями от идеальной периодичности в решетке ионов. Чаще всего такие отклонения связаны с тепловыми колебаниями ионов относительно их положений равновесия. Эта причина столкновений присуща самому кристаллу и существует даже в идеальных кристаллах, свободных от таких несовершенств структуры, как примеси, дефекты и границы образца.
