Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
^(к) = Я^(к) + Т^(к)+ 2 П^(к+К)-Т^(К)1, (26.51)
к^о
Ьлпд^ | р (д) |5
9М^)
б) Покажите, что если не учитывать электронную экранировку (е = 1), то, согласно формуле (26.51), в длинноволновом пределе продольная нормальная мода будет иметь ионную плазменную частоту (26.2).
в) Покажите, что если учесть экранировку с помощью диэлектрической проницаемости Томаса — Ферми (26.4), то все фононные частоты будут стремиться к нулю линейно по А; для больших длин волн, хотя дисперсионное соотношение и не имеет простой формы Бома — Ставера (26.5).
2. Электронный и ионный вклады в теплоемкость металлов
а) Воспользовавшись для оценки скорости звука в металле соотношением Бома — Ставера (26.8), покажите, что
^2.= (^^)1/' (26.52)
©к V 3 М I '
б) Пользуясь этим результатом и формулой (23.30), покажите, что низкотемпературные электронный и ионный вклады в теплоемкость связаны соотношением
с* / 5 \ „ / 42тга \з/2 / %р \2
V
в) Определяя массу иона как АМР, где А — массовое число, а Мр — масса протона (М-р = 1836 т), покажите, что электронная теплоемкость превышает ионный вклад, если температура становится ниже следующего значения:
^ = 5,3^/1 (-|-)3/4 )2. № к. (26.54)
г) Вычислите температуру Тп для натрия, алюминия и свинца.
д) Покажите, что главный (кубический) член в удельной теплоемкости решетки превышает кубическую поправку к электронной удельной теплоемкости [рассчитанную в приближении свободных электронов — см. формулу (2.102)], отличаясь от нее множителем
у3/2 (26.55)
1 / зм у
г \ 2т )
3. Фононные поправки к энергии 9лектронов
В пределе <Вд->-0 поправка (26.27) к электронной энергии принимает форму, получаемую в приближении Хартри — Фока с учетом экранировки Томаса — Ферми (см. >. 1, гл. 17, стр. 343):
| | к-к' |2 + /с8 • (26.56)
Если не считать фононные частоты исчезающе малыми, выражение (26.27) существенно отличается от (26.56) лишь при тех значениях переменной интегрирования к', для которых <?к, попадает в интервал О (Й<вв) вблизи <?к. Поскольку энергия й<вд мала по сравнению с %-р, область значений к', для которых эта поправка существенна, представляет собой тонкий (по сравнению с размерами зоны) слой вокруг поверхности <?к, = <?к. Мы
1) Точнее, мы должны использовать зависящую от частоты диэлектрическую проницаемость г (ц, ш), где со— частота рассматриваемой нормальной моды. Однако, так как ш меньше о)д, зависимость диэлектрической проницаемости (17.60) от частоты пренебрежимо слаба. Это обстоятельство позволяет аналитически обосновать адиабатическое приближение.
156
Глава 26
можем воспользоваться этим обстоятельством, чтобы упростить поправочный член, записав интеграл по к' как интеграл по энергии %' и интеграл по поверхности постоянной энергии <?к, = %'¦ Зависимость слагаемого (<?^ — ^к')2 от энергии %' очень существенна, так как при %' = %к скобка в (26.27) обращается в нуль, а при %' вне интервала шириной О (Й<вв) дробь очень мала. Однако остающаяся в подынтегральном выражении зависимость от %' (связанная с тем, что вектор к' обязан пробегать поверхность $к, = %') в интервале шириной О (Йсод) вблизи %р очень слаба. Поэтому в хорошем приближении можно заменить интегрирование по к' по поверхностям %к, = %' интегрированием по одной поверхности 18к/ = Тогда зависимость от %' обусловливается только членом с %' ъ знаменателе. Интегрирование по %' проводится затем элементарно.
а) Покажите, что в этом приближении справедливо выражение
dS' 4яе2
,TF 'к
\
8я3 | д%1д\а | | к—к'
¦ X
Х-у йш(к—к') In
%F—%k — n(a (к—к')
%F—%^ + ha> (к —к')
(26.57)
б) Покажите, что из формулы (26.57) сразу же следует, что исправленная с учетом фононов поверхность Ферми %к, = %р совпадает с неисправленной поверхностью Ферми
©к — ©р.
в) Покажите, что, когда разность между %к и %р равна нескольким ймд, фононная поправка отличается от поправки Томаса — Ферми на величину О (ЙШд/фр) X X (Н(ов/1%к -
г) Покажите, что, когда разность %к — %р мала по сравнению с йсов, формула (26.57) переходит в формулы (26.28) и (26.29).
ЛИТЕРАТУРА
1. Bohm D., Staver Т., Phys. Rev., 84, 836 (1950).
2. Kohn И7., Phys. Rev. Lett., 2, 393 (1959).
3. Stedman R. et al., Phys. Rev., 162, 545 (1967).
4. Frolich H., Phys. Rev., 79, 845 (1950).
5. Bardeen /., Pines D., Phys. Rev., 99, 1140 (1955).
6. Peierls R. E., Ann. Phys. (5), 12, 154 (1932).
ГЛАВА 27
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИЗОЛЯТОРОВ
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА (ЭЛЕКТРОСТАТИКА)
ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ПОЛЯ СООТНОШЕНИЕ КЛАУЗИУСА — МОССОТТИ ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ ДЛИННОВОЛНОВЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ МОДЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИОННЫХ КРИСТАЛЛОВ ОСТАТОЧНЫЕ ЛУЧИ КОВАЛЕНТНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ ПИРОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Поскольку в диэлектрике невозможно свободное перемещение заряда, в глубь его способны проникать достаточно сильные внешние поля. Существуют по меньшей мере три ситуации, когда нам важно знать, что происходит с внутренней (электронной и ионной) структурой диэлектрика, когда на электрическое поле, отвечающее периодическому потенциалу решетки, накладывается некоторое дополнительное электрическое поле.
