Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
p^pf(R, d), ej-+e(d), r}->R + d, A,-^u(R, d). (27.16)
Поскольку d представляет собой микроскопическое расстояние порядка а, мы можем произвести дальнейшее разложение:
/ (r-R-d) «l/(r-R)-d.V/(r-R). (27.17)
Подставляя это выражение в (27.13) и опуская члены выше первого порядка по а!г0, мы вновь получаем уравнение (27.15), где теперь р (R) — дипольный
*) Мы увидим, что первый член ряда (п — 0) не дает вклада в (27.11), и поэтому, чтобы получить основной вклад, необходимо сохранить следующее слагаемое (п = 1).
2) Ионы, отстоящие друг от друга на вектор решетки Бравэ, имеют одинаковый полный заряд, поэтому еу зависит лишь от (1, но не от К.
162
Глава 27
момент полной элементарной ячейки *), отвечающей узлу К:
Р (К) = | [е (й) и (И, с!) + р (К, с!)]. (27.18)
Сравнивая (27.15) с макроскопическим уравнением Максвелла (27.4), можно заметить, что эти два уравнения согласуются между собой, если плотность поляризации определена следующим образом:
Р(г) = 2/(г-Н)р(Н). (27.19)
в.
Если мы имеем дело лишь с такими ситуациями, когда форма искажений не меняется существенно по микроскопическим масштабам при переходе от одной ячейки к другой, то р (К) будет слабо меняться от ячейки к ячейке и величину 27.19) можно вычислить как интеграл:
р(г)=-ц-2 у/(г-к)р(ю»4-1 ^ (г~г)рй- (27-20>
в.
где р (г)—гладкая плавно меняющаяся непрерывная функция, описывающая поляризацию ячеек вблизи точки г, а V — равновесный объем элементарной ячейки.
Мы будем пользоваться макроскопическими уравнениями Максвелла лишь в тех случаях, когда изменение поляризации ячеек имеет существенную величину только на расстояниях, больших по сравнению с размером области усреднения г0; это заведомо справедливо для полей, длины волн которых лежат в видимой части спектра или оказываются еще больше. Подынтегральное выражение в формуле (27.20) обращается в нуль, когда расстояние между точками гиг превышает величину г0; следовательно, если изменение момента р (г) на расстоянии г0 от г пренебрежимо мало, можно заменить р (г) на р (г) и вынести этот множитель из интеграла. Тогда получаем
Р (Г) = Ж | Л/(г — г). (27.21)
Так как | йг'/ (г') = 1, окончательно имеем
Р(г) = -1.р(г). (27.22)
Таким образом, если дипольный момент каждой ячейки существенно меняется лишь на макроскопических расстояниях, то справедливо макроскопическое уравнение Максвелла (27.4), в котором плотность поляризации Р (г) определяется как дипольный момент элементарной ячейки, расположенной вблизи точки г, деленный на равновесный объем этой ячейки 2).
*) При выводе выражения (27.18) мы воспользовались тем, что полный заряд элементарной ячейки 2е № равен нулю. Мы пренебрегли также дополнительным членом №> дающим дипольный момент элементарной ячейки в недеформврованном кристалле. В большинстве кристаллов этот член обращается в нуль при всяком достаточно естественном выборе элементарной ячейки. Если он все же оказывается отличным от нуля, то кристалл обладает определенной плотностью поляризации даже в равновесии, в отсутствие деформирующих сил или внешних электрических полей. Подобные кристаллы действительно существуют и называются пироэлектриками. Мы обсудим их позднее в этой главе; там же будет пояснено, что означает «достаточно естественный выбор элементарной ячейки» (см. стр. 178).
2) Приведенный вывод этого интуитивно вполне понятного результата позволит нам впоследствии оценить необходимые поправки к нему.
Диэлектрические свойства изоляторов
163
ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ПОЛЯ
Чтобы применять макроскопическую электростатику, необходимо располагать теорией, позволяющей установить связь между плотностью поляризации Р и макроскопическим электрическим полем Е. Поскольку каждый ион имеет микроскопические размеры, его смещение и деформация определяются силой,
1^ГН
Внешний
Фиг. 27.3. При расчете локального поля в точке г удобно отдельно рассматривать вклад дальней области (к которой относится весь кристалл, за исключением сферы радиусом вокруг точки г, а также внешние источники поля) и вклад ближней области (образованной всеми точками, лежащими внутри сферы с центром в г).
Расстояние между любой точкой дальней области и точкой г должно быть большим по сравнению с равме-ром г0 области усреднения; при этих условиях микроскопическое поле, создаваемое зарядами из дальней области, равно своему макроскопическому среднему значению.
обусловленной микроскопическим полем в точке расположения иона, за вычетом вклада в это поле, вносимого самим ионом. Такое поле часто называют локальным (или эффективным); будем обозначать его как Е1ос(г).
Для упрощения расчета Е1ос(г) можно воспользоваться законами макроскопической электростатики, разбив для этого пространство на близкую и далекую от точки г области. Дальняя область должна содержать все внешние источники поля, все точки вне кристалла и те точки внутри его, расстояние которых от точки г велико по сравнению с размером г0 области усреднения, использованной в соотношении (27.6). Все остальные точки будем считать принадлежащими ближней области (фиг. 27.3). Смысл этого разбиения заключается в том, что вклад в величину Е1ос (г) от всех зарядов из дальней области описывается функцией, которая почти не меняется на расстояниях порядка г0 от точки г и на него не может повлиять процедура вычисления среднего согласно формуле (27.6). Поэтому вклад в величину Е1ос (г) за счет всех зарядов из дальней области равен просто макроскопическому полю Е™?сг0 (г), которое имелось бы в точке г, если бы присутствовали лишь заряды в этой дальней области:
