Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 27.1. Значение макроскопической величины в точке Р есть среднее от микроскопической величины, взятое по области с размерами г0 вокруг точки Р, причем значение г0 велико по сравнению с расстоянием о между частицами.
мальное значение порядка 11г0, требуемое условиями (27.5). За исключением этих предположений, вид макроскопической теории не зависит от свойств весовой функции /.
Теперь мы можем дать строгое определение макроскопического электрического поля Е (г) в точке г: оно представляет собой среднее от микроскопического поля в области радиусом г0 вокруг точки г, причем точкам, смещенным на —г' от г, приписывается вес, пропорциональный / (г'), т. е.
Е(г) = | йг'Ет10ГО(г-г')/(г'). (27.6)
Грубо говоря, операция, описываемая формулой (27.6), приводит к размытию всех деталей микроскопического поля на расстояниях, меньших г0, и сохраняет лишь плавное изменение этой величины на расстояниях, превышающих г0 (фиг. 27.2). Отметим, например, что, когда поле Ет1сго меняется очень плавно на расстояниях порядка г0 (как это имеет место, если точка г находится в пустом пространстве вдали от диэлектрика), величина Е (г) совпадает с Ет'С!П (г). Из выражений (27.6) и (27.1) сразу же следует, что
Т.Е(г)= [ (1т'Г.Ет[сто(г — г') /(г') = 4я [ й'рт1ого(г —г')/(г'). (27.7)
х) Точнее, макроскопические уравнения Максвелла справедливы лишь в том случае, если макроскопические поля меняются достаточно слабо, так что можно выбрать такое значение г0, чтобы для минимальной характерной длины волны выполнялось условие % ^> г0 ^>а. Это условие может выполняться для поля, соответствующего видимому свету (Х~ 104 а), но не для поля, отвечающего рентгеновскому излучению а).
160
Глава 27
Поэтому для получения формулы (27.4) достаточно показать, что
| йг'рт1сг0(г —г')/(г')йг'= — У.Р(г), (27.8)
где Р (г) — плавно меняющаяся функция, которую можно рассматривать как плотность дипольного момента.
Мы обсудим лишь случай, когда микроскопическую плотность заряда можно разбить на сумму вкладов от отдельных ионов (атомов или молекул),
1-г0-1
Фиг. 27.2. Характерное пространственное поведение микроскопической величины (быстро осциллирующая тонкая кривая) и соответствующей макроскопической величины (жирная
кривая).
В макроскопической величине остаются лишь такие пространственные вариации, масштаб которых сравним с длиной г0 или больше нее.
расположенных в точках г,- и характеризующихся индивидуальными распределениями заряда р7- (г — г7)
ртшсго (Г) = 2 Ру (г-гу). (27.9)
3
Такое разбиение совершенно естественно для ионных или молекулярных твердых тел, но его гораздо труднее провести в ковалентных кристаллах, где существенную часть распределения электронного заряда уже не так легко связать с отдельными узлами в кристалле. Наше обсуждение поэтому относится главным образом к первым двум классам диэлектриков. Для расчета диэлектрических свойств ковалентных кристаллов необходим совершенно иной подход. Мы вернемся к этому вопросу позднее.
Нас интересуют неравновесные состояния диэлектрика, в которых ионы смещены от равновесных положений г° и деформированы по отношению к своей равновесной конфигурации х), описываемой распределением плотности заряда р". Поэтому в общем случае величина рписго (г) не равна равновесной микроскопической плотности заряда, даваемой выражением
рг*"о(г) = 2рЗ(г-г$). (27.10)
3
Пользуясь формулой (27.9), мы можем переписать уравнение (27.7) в виде
Т.Е(г) = 4я2 ( йг'ру(г-г,-г')/(г') =
з
= 4я2 ] Ар,(;)/(г-г«-(?+Ду)), (27.11)
з
г) Будут рассмотрены а) случаи моноатомных решеток Бравэ (когда г} есть просто векторы И решетки Бравэ и все функции совпадают) и б) случаи решеток с базисом, когда г? пробегает через все векторы К, К + (1 и т. д. и число различных функций равно числу различных типов ионов в базисе.
Диэлектрические свойства изоляторов
161
где А) = Т] — г^. Смещение /-го иона по отношению к его равновесному положению представляет собой микроскопическое расстояние порядка а и менее. Кроме того, плотность заряда p^ (г) обращается в нуль, когда г превышает некоторое микроскопическое расстояние порядка а. Поскольку изменение весовой функции / на расстояниях порядка а чрезвычайно мало, мы можем разложить (27.11) в ряд по степеням а/г0, воспользовавшись разложением Тейлора:
/(r_ro_(r + Ay))== 2^[_(r + A.).v]n/(r-r?). (27.12)
1
Подставляя первые два члена ряда *) (27.12) в уравнение (27.11), находим
V. Е (г) = 4л [2 e,f (г - г}) - 2 (Р, + ejAj). V/ (г - rj)], (27.13)
з i
где
е, = j dipj (г), Р, = [ dr9j (г) г. (27.14)
Величины в] и pj представляют собой просто полные заряд и дипольный момент /-го иона.
В случае моноатомной решетки Бравэ заряд каждого «иона» должен быть равен нулю (поскольку кристалл нейтрален и все «ионы» одинаковы). Помимо того, равновесные положения rj совпадают тогда с узлами R решетки Бравэ; следовательно, уравнение (27.13) сводится к уравнению
[JV.E (r)= -4яТ-2 /(r-R)p(R), (27.15)
где р (R) — дипольный момент атома, находящегося в узле R.
Если произвести очевидное обобщение определения дипольного момента р (R), данный результат остается справедливым (в главном порядке по а/г0) даже в случае, когда ионы заряжены и решетка имеет полиатомный базис. Чтобы увидеть это, предположим, что г° теперь пробегает узлы R -f d решетки с базисом. Тогда для задания pf и ej можно воспользоваться вектором R решетки Бравэ и вектором d, определяющим равновесное положение /-го иона 2):
