Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Иногда соотношение (27.27) записывают через диэлектрическую проницаемость среды е. В этом случае используют определение величины е2):
0(г) = вЕ(г) (27.28)
и соотношение (27.3) между В, Е и Р, чтобы выразить Р (г) через Е(г):
Р(Г> = ^л±Е(Г)- <27-29>
Исключая теперь Р (г/ из (27.27) с помощью этого соотношения, находим
ЕЮс(г)=_в + 2_Е(г)>
(27.30)
Существует еще один способ записи этого результата — с использованием поляризуемости среды. Поляризуемость а (сі) иона, занимающего в базисе положение сі, определяется как отношение его наведенного дипольного момента к полю, фактически действующему на ион. Поэтому
_ Р<К + а) + ш(К + а)=а(а)Е^(г)|г^. (27.31)
*) Это соотношение неявно указывает, что локальное' поле, действующее на ион, зависит лишь от II, но не от сі, г. е. не зависит от типа иона (в решетке с базисом). Последнее обстоятельство, упрощающее расчет, следует из нашего предположения о том, что каждый ион занимает позицию с кубической симметрией.
2) В некубических кристаллах Р, а следовательно, и Ь могут быть и не параллельны вектору Е, поэтому в них є представляет собой тенаор.
166
Глава 27
Поляризуемость среды а определяется как сумма поляризуемостей отдельных ионов в примитивной ячейке:
а = 2а(<1). (27.32)
а
Поскольку [ср. (27.18) и (27.22)] для Р выполняется соотношение
р (г)=4- 2 (к> +е ^)и (к' ^ <27-33)
11
то мы имеем
Р(г) = ^Е1ос(г). (27.34)
Выражая Р и Е1ос через Е с помощью формул (27.29) и (27.30), получаем из (27.34) следующее соотношение:
в—1 4ла
в + 2 Зу
(27.35)
Это соотношение, называемое соотношением Клаузиуса — Моссотти *), позволяет связать между собой макроскопическую и микроскопическую теории. Микроскопическая теория требуется для расчета величины а, определяющей отклик ионов на реальное действующее на них поле Е1ос. Получаемую по ней проницаемость е можно использовать, чтобы рассчитать на основе макроскопических уравнений Максвелла оптические свойства диэлектриков.
ТЕОРИЯ ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ
В поляризуемость а дают вклад два члена. Вклад от р [см. формулу (27.31)], называемый «атомной поляризуемостью», возникает за счет искажения распределения ионного заряда. Вклад величины ей, называемой «поляризуемостью смещения», возникает из-за смещений ионов. В молекулярных кристаллах отсутствует поляризуемость смещения, так как «ионы» в них не заряжены, но в ионных кристаллах такая поляризуемость имеется, и она сравнима по величине с атомной поляризуемостью.
АТОМНАЯ ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ
Пусть локальное поле, действующее на интересующий нас ион, является периодической функцией времени:
Eloc = Re(E0e-to'), (27.36)
где Е0 не зависит от координат (предположение 1, стр. 165). В простейшей классической теории атомной поляризуемости принимается, что ион состоит из электронной оболочки с зарядом Zte и массой Z(m, соединенной с тяжелой, неподвижной и недеформируемой ионной сердцевиной с помощью гармонической «пружинки» с жесткостью К = Ztmoal (фиг. 27.4). Если смещение оболочки от ее равновесного положения описывается функцией
г = Re (гве-|в«), (27.37)
х) Соотношение Клаузиуса — Моссотти, записанное через показатель преломления п = у в, называют соотношением Лоренца — Лоренца (Lorentz — Lorenz). [В современной физической и химической литературе, публикуемой в Англии и США, стало обычным искажать фамилию О. Ф. Моссотти, оставляя в ней одно «с» и (или) путать его инициалы.]
Диэлектрические свойства изоляторов
167
то из уравнения движения оболочки
получаем
Ztmr= —Kr — ZteE
loc
° — m(o)g —co2)
Поскольку наведенный дипольный момент равен р = —Zter, имеем
(27.38) (27.39)
(27.40)
т(о1-&Г"°- (27.41)
Определяя зависящую от частоты атомную поляризуемость соотношением р0 = аа*(со)Е0) (27.42)
p = Re(p0e-«'B'),
где
Ро =
¦Еп
находим
а
at
(Co) =
т(<-^-- С27"43)
Модель, с помощью которой получен результат (27.43), является, конечно, очень грубой. Однако особенно важный для нас сейчас вывод заключается в том, что, когда частота со мала по сравнению с со0, поляризуемость не зависит от частоты и равна своему статическому значению:
(27.44)
Следует ожидать, что со0, т. е. частота вибраций электронной оболочки, должна иметь порядок атомной энергии возбуждения, деленной на Н. Это означает, что когда величина На» меньше нескольких электрон-вольт, ады можем считать атомную поляризуемость не зависящей от частоты. Подобный вывод подтверждается и более точными квантовомеханическими расчетами величины а.
Заметим, что формулу (27.44) можно использовать также для того, чтобы выразить частоту, ниже которой поляризуемость ааЪ становится не зависящей от частоты, через наблюдаемые статические поляризуемости:
Фиг. 27.4. Грубая классическая модель, используемая при расчете атомной поляризуемости.
Ион рассматривается как заряженная оболочка с зарядом г^е и массой г^т, связанная с неподвижным ядром пружинкой с жесткостью К — ггта>2.
Y^=Y
h2
2а„
= /М^)-Ю,5эВ.
(27.45)
Поскольку измеренные поляризуемости (табл. 27.1) имеют порядок Ю-24 см3, можно сделать вывод, что частотная зависимость атомной поляризуемости не будет проявляться вплоть до частот ультрафиолетового диапазона (кроме случая наиболее сильно поляризуемых ионов).
