Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 20.1
Значение параметров Леннарда-Джонса для инертных газова)
Аг К. Хе
8, 10~13 эрг 0,050 0,167 0,225 0,320
е, эВ 0,0031 0,0104 0,0140 0,0200
о, А 2,74 3,40 3,65 3,98
а) Приведенные значения определены по свойствам газов при низкой плотности (по второму ви-риальному коэффициенту).
Данные взяты из статьи Бернардеса [1].
Подчеркнем, что не стоит слишком серьезно относиться к точной форме потенциала (20.2). Это всего лишь простой способ учета следующих факторов:
1. На больших расстояниях потенциал является притягивающим и меняется как 1/г6.
2. На малых расстояниях потенциал является сильно отталкивательным.
3. Параметры е и ст характеризуют силу притяжения и радиус отталкива-тельной сердцевины и определяются путем согласования с данными для газообразного состояния.
Обратите внимание, что значение е составляет лишь около 0,01 эВ; это согласуется с очень слабой связью в твердых инертных газах. Потенциал Леннарда-Джонса изображен на фиг. 20.1.
Попытаемся вывести некоторые наблюдаемые свойства твердых инертных газов, используя лишь данные для газообразного состояния, содержащиеся в табл. 20.1, и потенциал (20.2). Мы рассматриваем твердый инертный газ как совокупность классических частиц, локализованных в точках наблюдаемой на опыте г. ц. к. решетки. Кинетическую энергию частиц будем считать пренебрежимо малой. Чтобы вычислить полную потенциальную энергию твердого тела, заметим прежде всего, что энергия взаимодействия атома, расположенного в началэ,']Координат, со всеми остальными атомами равна
3 (20.3)
х) Для твердого состояния этими значениями следует пользоваться с осторожностью, •поскольку при больших плотностях взаимодействие не может быть представлено в виде -суммы парных потенциалов (см. стр. 22). Если, несмотря на это, попытаться подогнать данные для твердого тела к сумме парных потенциалов вида (20.2), то наилучший выбор значений 8 и о может и не совпадать со значениями, определяемыми по свойствам газообразного вещества.
Глава 20
1,г 1,4 1,6 1,8 г,о г/а
Фиг. 20.1. Потенциал «6—12» Леннарда-Джонса [формула (20.2)].
Ьсли умножить ее на ./V — полное число атомов в кристалле, то получится удвоенная полная потенциальная энергия кристалла, поскольку мы учли дважды энергию взаимодействия каждой пары атомов. Поэтому энергия на одну частицу есть
!«={2 да),
(20.4)
11^0
где сумма берется по всем отличным от нуля векторам в г. ц. к. решетке Бравэ.
Удобно записать длину вектора К решетки Бравэ в виде безразмерного числа а (К), умноженного на расстояние г между ближайшими"соседями. Формулы (20.2) и (20.4) тогда дают!
и = 2е\Аи(±у2-Х(±У], (20.5)
где
ап(К)
(20.6)
Постоянные Ап зависят лишь от типа кристаллической структуры (в нашем случае — г. ц. к.) и от числа п. Очевидно, когда число п очень велико, вклад в сумму (20.6) будут давать только ближайшие соседи начала координат. Поскольку по определению а (II) = 1, когда И — вектор, соединяющий ближайших соседей, при п со величина Ап стремится к числу ближайших соседей,
Когезионная энергия
31
которое для г. ц. к. решетки Бравэ равно 12. При уменьшении п величина Ап возрастает, поскольку начинают давать вклад соседи, следующие за ближайшими. При п = 12 с точностью до десятой доли процента величина Ап слагается из вкладов от ближайших, следующих за ближайшими и третьих ближайших соседей начала координат. Значения Ап при различных п рассчитаны для большинства распространенных кристаллических структур. Для распространенных кубических структур значения Ап приведены в табл. 20.2.
Таблица 20.2
Решеточные суммы Лп для трех кубических решеток Бравэ3)
п Простая кубическая О. ц. к. Г. ц. к.
< 3 оо СО СО
4 16,53 22,64 25,34
5 10,38 14,76 16,97
6 8,40 12,25 14,45
7 7,47 11,05 13,36
8 6,95 10,36 12,80
9 6,63 9,89 12,49
10 6,43 9,56 12,31
11 6,29 9,31 12,20
12 6,20 9,11 12,13
• 13 6,14 8,95 12,09
14 6,10 8,82 12,06
15 6,07 8,70 12,04
16 6,05 8,61 12,03
я>17 6+12 (1/2)п/2 8 + 6 (3/4)"'2 12 + 6 (1/2)"''2
а) Величина Ап есть сумма обратных п-х степеней расстояний от данной точки решетки Бравз>
до всех ее остальных точек, если за единицу расстояния принять расстояние между ближайшими соседями [формула (20.6)]. При п^П сумму Лп можно вычислить с точностью, принятой в таблице, взяв лишь вклады от ближайших и следующих за ближайшими соседями, для чего можно воспользоваться приведенными формулами.
Данные взяты из статьи Джонса и Ингхама [2].
РАВНОВЕСНАЯ ПЛОТНОСТЬ ТВЕРДЫХ ИНЕРТНЫХ ГАЗОВ
Чтобы найти равновесное расстояние г0 между ближайшими соседями, а следовательно, плотность твердого тела, необходимо лишь минимизировать выражение (20.5) по г. Условие ди/дг = 0 дает
Пь = (-^-)ст = 1,09а. (20.7)
В табл. 20.3 теоретические значения г*п = 1,09а сравниваются с измеренными значениями. Согласие довольно хорошее, хотя и можно отметить, что с уменьшением массы атома экспериментальное значение все сильнее превышает теоретическое. Это можно объяснить влиянием кинетической энергии нулевых колебаний, не учтенной при расчете. Такая энергия тем больше, чем меньше объем, приходящийся на атом. Поэтому она должна действовать как эффективная отталкивательная сила, увеличивающая постоянную решетки по сравнению со значением (20.7). Поскольку энергия нулевых колебаний становится более
