Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ПРИЛОЖЕНИЯ
М
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО КРИСТАЛЛА
Рассмотрим сначала квантовую теорию отдельного (одномерного) гармонического осциллятора, описываемого гамильтонианом
А=!&+Ттю2(72. (МЛ)
Структура этого гамильтониана упрощается, если ввести оператор уничтожения
а также сопряженный ему оператор рождения
/ж^- (м-3>
Из канонических коммутационных соотношений [д, р] = гп следует, что
[а, а*\ =1. (М.4)
Если выразить гамильтониан через операторы а и а*, а не через ? и р, то он приобретает следующий простой вид:
К = Йсо (а*а + Чг)- (М.5)
Нетрудно показать '), что коммутационные соотношения (М.4) приводят к собственным значениям гамильтониана (М.5), имеющим вид (п -\- 1/2) Йсо, где п = 0, 1, 2, ... . Если | 0) —основное состояние гамильтониана кг то п-кратно возбужденное состояние | п) дается выражением
\п) = -±т(а*)»\0). (М.6)
При этом | ?г) удовлетворяет следующим соотношениям:
а^а \п) =п \ п), к \п) =(п + 11г) пи, ] п). (М.7)
Матричные элементы операторов а и а* для этой полной системы состояний имеют вид
(п \а \ п) = 0, и' =^?г — 1,
(и — 1 | а | п) = Уп, (М.8)
<и' | ат \ п) = (и | а | п'). Все эти результаты непосредственно следуют из соотношений (М.4) и (М.5).
*) См., например, книгу [1].
372
Приложения
Гармонический кристалл описывается аналогичным образом. В этом случае гамильтониан задается формулой (23.2) '). Пусть со„ (к) и е8 (к) представляют собой соответственно частоту и вектор поляризации классической нормальной моды колебаний с поляризацией я и волновым вектором к (см. стр. 67). По аналогии с (М.2) определим теперь 2) оператор уничтожения фононов
у и
и сопряженный ему оператор рождения фононов
*- 1 3^-Ч.(к,[/^.(В)-(/отіПрР(«)]. (МЛО)
#ks
1/ 1\
R
/ N
Используя канонические коммутационные соотношения К (В), Л, (В')1 = гЙб11Убя, я'»
[^(Н), 1^(Н')] = [^(К), Л(К')] = 0, (МЛ1)
тождество 3)
„ Г 0, если к не является вектором обратной решетки,
Зе1к-к={л; ^ ________*____________ (м-12)
н
если к — вектор обратной решетки,
и ортонормированность векторов поляризации 1см. формулу (22.61)], можно получить коммутационные соотношения, аналогичные (М.4):
і + (М.13)
[«ks, dk's'] = [«ksi dk's'] = 0.
Запишем выражения, обратные (M.9), и выразим, таким образом, исходные координаты и импульсы через акв и а^:
_ (М.14)
р(н)=-=±.2 V м^Ж(вк1_в1к1)е,(к)в«-".
' кг
В справедливости равенств (М.14) можно убедиться, подставив в них выражения для операторов рождения и уничтожения (М.9) и (М.10) и воспользовавшись при этом соотношениями полноты, которые выполняются для любой полной системы действительных ортогональных векторов,
''2|[вДк)]й[[ея(к)]у = 6^, (М.15)
НВ49 г) Мы проводим рассмотрение только для моноатомной решетки Бравэ, но указываем ниже, как можно обобщить полученные результаты на случай решетки с полиатомным базисом.
2) Если со8 (к) = 0, это определение теряет смысл. Подобная проблема возникает только для трех из N нормальных мод (для акустических мод с к = 0), и обычно ее можно не принимать во внимание. Это обстоятельство отражает тот факт, что три степени свободы, отвечающие перемещению кристалла как целого, не могут рассматриваться как колебательные степени свободы. Только в тех задачах, где требуется рассматривать перемещение кристалла как целого или нужно знать полный импульс кристалла, необходимо корректно учитывать также и эти степени свободы. Дальнейшее обсуждение затронутой проблемы имеется в приложении Н.
3) См. т. 1, приложение Е.
М. Квантовая теория гармонического кристалла
373
а также тождеством1)
2e*klR = 0, R=^0. (М.16)
k
Мы можем выразить гамильтониан гармонического кристалла через новые осцилляторные переменные, подставив (М.14) в (23.2). Если использовать тождество (М.16) и ортонормированность векторов поляризации, отвечающих данному к, то можно показать, что кинетическая энергия дается выражением
2^-2 Р2(«)=т2 n<*s(b)(abs-alks)(al-a_ks). (М.17)
R ks
Потенциальную энергию можно записать аналогичным образом, учитывая тот факт, что векторы поляризации являются собственными векторами динамической матрицы D (к) [см. (22.57)]:
f/=i2^WK + a-b)(a-kS+«L). (М.18)
ks
Объединяя выражения (М.17) и (М.18), получаем
Я = у 2 йю8(к)(ак,4, + о?,ак1) (М-19)
или, используя коммутационные соотношения (М.13),
я=2йсо^к)(^а'»+-1-)- (м-2°)
Таким образом, гамильтониан Н представляет собой не что иное, как сумму 3JV независимых осцилляторных гамильтонианов (по одному на каждое значение волнового вектора и поляризации). Когда гамильтониан распадается на сумму коммутирующих между собой частичных гамильтонианов, его собственные состояния представляют собой просто всевозможные произведения собственных состояний таких частичных гамильтонианов, а соответствующие собственные значения являются суммами собственных значений различных частичных гамильтонианов. Поэтому мы можем задать собственное состояние гамильтониана Н с помощью набора 3N квантовых чисел raks, по одному на каждый из ЗА независимых осцилляторных гамильтониановЙсо8 (k) (a^eaks + V2). Энергия подобного состояния есть просто
