Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
В гармоническом кристалле положение каждого иона в момент времени г представляет собой линейную функцию координат и импульсов всех ионов при г = 0. Однако можно показать 2), что если Л и Я — операторы, линейные по и (Б) и Р (И) в гармоническом кристалле, то
(еАеВ) = еУ2<А* + 2АВ + В')_ (0Л5)
Этот результат можно непосредственно использовать в выражении (0.12): (ехр [гц ¦ и (К')] ехр [ — щ • и (К, г)]) =
= ехр ( -|<[д.и (Н')]2)-4-<[Ч-и(К, № + {[ц.и (Я')} [д-и(В, г)]>) . (0Л6>
1) ? (ц, со) представляет собой просто фурье-образ корреляционной функции типа плотность — плотность.
2) Весьма компактное доказательство дано в работе [2].
Кроме того, для любой пары операторов А и В имеет место соотношение
^ (Ф,, ЛФ,) (Фу, ДФ,) = (Ф,, АВФг). (ОЛО)
Отсюда
^(Ч.юН^-Й-*1"* Зе-1ч-(Н-н,)(Ф*. ехР [^-и(В')1 expt-iq.ii (В,*)]Ф,).
(ОЛ1)
В общем случае кристалл находится в термодинамическом равновесии, поэтому мы должны усреднить сечение рассеяния, отвечающее данному г, по максвелл-больцмановскому распределению равновесных состояний. Это означает, что вместо величины 54 необходимо взять температурное среднее, т. е.
384
Приложения
Это выражение еще более упрощается, если учесть, что произведения операторов зависят только от относительных координат и времен:
([д.и(К»)Р> = ([д.и(К, *)]2> = <№-и(0)Р>==2Иг, (0.17)
Uq.ii (В.')] и (Н, *)]> = <[д.и(0)ПЧ.и(Н-Н\ *)]>,
и, следовательно,
? (д, со) = е-™ \ ~ е>°* 2 е~,ч'л ехР «Ч-« (0)1 [Ч- и (К, *)]>• (0-18)
к
Выражение (0.18) является точным следствием формулы (0.12) для 5 (д, со) для гармонического кристалла.
В гл. 24 мы классифицировали рассеяние нейтронов в соответствии с числом фононов т, излученных и (или) поглощенных нейтроном. Если разложить экспоненту, входящую в подынтегральное выражение в формуле для 5,
оо
ехр([д.и (О)]^.!! (К, *)]>= 2 -^«[Ч-и(0)][д.и (В, *)]»"*, (0.19)
7П = 0
то можно показать, что т-й член в этом разложении в точности описывает вклад т-фононных процессов в полное сечение рассеяния. Мы ограничимся здесь рассмотрением членов с т = 0 и т = 1 и покажем, что они приводят к той же самой структуре, которая была получена нами в гл. 24 при менее строгом рассмотрении бесфононных и однофононных процессов.
1. Бесфононный вклад (т—-0). Если заменить единицей крайнюю правую экспоненту в выражении (0.18), то сумма по И вычисляется с помощью формулы (М.12), а интеграл по времени сводится, как и в (0.9), к б-функции. Тогда бесфононный вклад в 6" со) запишется просто в виде
50(Ч, СО) = е-2ТУб((й)Л7 У б„,к-
к
(0.20)
Наличие б-функции отвечает упругому рассеянию. Интегрируя по конечным энергиям, находим
$^^Г = е-^(ЛГв)»2в,.к. (0.21)
<1а Г г,1
1а
Точно такое же выражение должно получаться при брэгговском отражении нейтронов, поскольку рассеяние упругое и переданный импульс равен вектору обратной решетки, умноженному на %. Брэгговское рассеяние представляет собой когерентный процесс. Это находит свое отражение в том, что сечение рассеяния пропорционально сечению рассеяния а2 для отдельного центра, умноженному на Ж2, а не просто на N. Следовательно, амплитуды рассеяния (в отличие от сечений) оказываются аддитивными. Влияние тепловых колебаний ионов относительно равновесных положений полностью учитывается множителем е~™, который называется фактором Дебая — Валлера. Поскольку средний квадрат смещений иона из положения равновесия ([и (О)]2) растет с температурой, мы видим, что тепловые колебания ионов, уменьшая интенсивность брэгговских пиков, не устраняют их полностью *) (как опасались первые исследователи рассеяния рентгеновских лучей).
х) Это является указанием на существование дальнего порядка в реальном кристалле.
О. Теория рассеяния нейтронов
385
2. Однофононный вклад (т = 1). Для вычисления вклада в do/dQdE, обусловленного членом с m = 1 в (0.19), нужно найти величину
<[q-u (0)] [qu (R, t)]). (0.22)
Это легко сделать, используя формулу (М.14) и следующие равенства *):
(ak's-ak.) = ns (k) okk'oS5', (aLak'S') = 0, (0.23)
(ak4ak'S'} = [1 + reg (k)] okk'o,S', (aksakV) = 0.
Отсюда находим
S{i> (q, со) = r^w 2 2jfm,(q) [Ч '8»(ч)]2 ([1 + "*(q)] O [(0 + W* <q>] +
+ Mq)o[©-fi>,(q)]). (0.24) Подставляя это выражение в (0.14), получаем однофононное сечение рассеяния аШЁ = Ne-™^a? 2 [q • es (q)]2 ([1 + ns (q)] o [со + cos (q)] +
+ rcs(q)o[co-cos(q)]). (0.25)
Отметим, что это сечение действительно отлично от нуля только в том случае, если удовлетворяются законы сохранения (24.9) или (24.10) для однофононных процессов; следовательно, зависимость do/dQdE от энергии имеет вид ряда резких дельтаобразных пиков, отвечающих разрешенным конечным значениям энергии нейтронов.
Такая структура позволяет выделить однофононные процессы среди всех остальных членов в многофононном разложении S или в сечении рассеяния, поскольку можно показать, что все члены, кроме однофононных, представляют собой относительно медленно меняющиеся функции конечной энергии нейтронов. Отметим, что интенсивность однофононных пиков модулируется тем же фактором Дебая — Валлера, который уменьшает интенсивность брэгговских пиков. Отметим также наличие множителя [q-es (q)]2, который позволяет получить информацию о векторах поляризации фононов. И наконец, множители, зависящие от температуры, ns (q) и 1 + п„ (q) обусловлены соответственно процессами, в которых испускаются или поглощаются фононы. Эти множители, типичные для процессов, отвечающих испусканию или поглощению бозе-эйнштейнов-ских частиц, указывают на то (представляющееся довольно разумным) обстоятельство, что при очень низких температурах процессы с испусканием фононов должны быть доминирующими (когда они допускаются законами сохранения).
