Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
РАССМОТРЕНИЕ РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Если не принимать во внимание множитель (р'/р) а2, характерный для динамики нейтронов, то выражение для сечения неупругого рассеяния рентгеновских лучей имеет в точности такой же вид, как и (0.14). Однако обычно разрешение оказывается недостаточным для того, чтобы выделить малые (по сравнению с энергией рентгеновских лучей) изменения энергии, происходящие
Здесь так же. как и в формуле (23.10), п3 (ц) — бозе-эйнштейновская функция распределения для фононов 5-й моды с волновым вектором q и энергией Й(08 (<ц).
386
Приложения
при однофононных процессах; фактически поэтому приходится интегрировать сечение рассеяния по всем конечным энергиям:
^g-~ j dcoS(q, ©)~e-2W2e_i,'RexP<[4-u(0)][q.u(R)]>. (0.26)
R
Этот результат легко связать с проведенным нами в гл. 6 рассмотрением рассеяния рентгеновских лучей, которое основывалось на статической модели кристаллической решетки. В гл. 6 мы показали, что рассеяние рентгеновских лучей в моноатомной решетке Бравэ определяется множителем
|Sej"»-R|2. (0.27)
R
Формула (0.26) является обобщением этого результата на случай, когда ионы могут смещаться из своих положений равновесия, в результате чего R заменяется на R -f- u (R) и необходимо рассматривать ? температурные средние по ионным конфигурациям .Jg
Если разложить (0.26) в ряд по числу фононов, то интегралы по частотам в отдельных членах этого ряда будут такими же, как в многофононном разложении для нейтронов. Бесфононные члены в данном случае описывают брэггов-екие пики, интенсивность которых уменьшена за счет фактора Дебая — Вал-лера (в нашем рассмотрении в гл. 6 мы не касались вопроса об интенсивности брэгговских пиков). Однофононный член приводит к сечению рассеяния, пропорциональному величине
j d©5(ll(q, co) = g-^2 2A^(q) (q.es(q))2cth|?7ko3(q). (0.28)
s
где q — изменение волнового вектора для рентгеновских лучей. Поскольку изменение энергии фотона исчезающе мало, q полностью определяется энергией падающих рентгеновских лучей и направлением наблюдения. Вклады в (0.28), обусловленные различными ветвями фононного спектра, можно разделить, проделав эксперимент при различных значениях q, отличающихся на векторы обратной решетки. Однако основная проблема заключается в том, чтобы отличить вклад в (0.28) однофононных процессов в полное сечение рассеяния от вкладов, связанных с многофононными членами, поскольку характерная структура однофононных членов обусловлена только особенностями их энергетической зависимости, которые теряются при интегрировании по со. На практике не остается ничего лучшего, как попытаться оценить многофононный вклад с помощью общего соотношения (0.26). Другой способ заключается в том, что измерения производятся при столь низких температурах и столь малых передачах импульса q, что разложение (0.19) становится быстро сходящимся. Если бы кристаллы были строго классическими, это всегда можно было бы осуществить, поскольку отклонения ионов от равновесных положений постепенно] обращались бы в нуль при Т —>- 0. Однако, к сожалению, нулевые колебания ионов имеют место и при Т — 0; следовательно, быстрота сходимости многофононного ряда ограничивается самой природой кристалла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Park D., Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill, New York, 1964.
2. Mermin N. D., J. Math. Phys., 7, 1038 (1966).
п
АНГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЛЕНЫ И тг-ФОНОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Ангармонический член п-го порядка по смещениям ионов и, согласно (М.14), можно выразить через операторы рождения и уничтожения а и а+ для нормальной моды колебаний. Такой член записывается через линейные комбинации произведений, включающих в себя т операторов уничтожения «ккц, • • •, • • актйт и п—т операторов рождения акт+1„т+1, • • ¦, (0 < т < п).
Каждое такое произведение, действуя на состояние, характеризуемое определенным набором фононных чисел заполнения, приводит к появлению состояния, в котором все Пкв остаются прежними, с тем только исключением, что при 1*5 = к^, . . ., кт«т они уменьшаются на единицу, а при к« = кт+15т+1, . . ., . . ., к„«п увеличиваются на единицу. Таким образом, ангармонический член п-го порядка имеет неисчезающие матричные элементы только между состояниями, в которых ровно п чисел заполнения оказываются различными 1).
1) У подавляющего большинства слагаемых в разложении любого ангармонического члена все к;5,- будут различными, если только мы не имеем дело с кристаллом микроскопически малых размеров. Члены, в которых числа заполнения для данной нормальной моды изменяются на два и более, вносят в случае большого кристалла пренебрежимо малый вклад.
р
ВЫЧИСЛЕНИЕ ^-ФАКТОРА ЛАНДЕ
Умножим скалярно обе части равенства (31.34) на вектор {1Ь81'г | Л]\ /1/5/2) и возьмем сумму по 1г при фиксированном /. Поскольку матричные элементы оператора Д между состояниями с отличающимися значениями / обращаются в нуль, мы можем просуммировать по всем состояниям, отвечающим фиксированным Ь и 5, которые образуют (2Ь + 1) (25 + 1)-мерное пространство. Отметив это, можно использовать соотношение полноты
