Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
4. Рассеяние нейтрона в металле. Аналогичным образом мы можем получить, что при рассеянии нейтронов в металле изменение импульса нейтрона компенсируется изменением суммарного квазиимпулъса электронов и ионов с точностью до аддитивной постоянной, равной вектору обратной решетки, умноженному на Й. Однако нейтроны весьма слабо взаимодействуют с электронами, и практически изменяется только квазиимпульс решетки. В этом случае ситуация аналогична рассмотренной в п. 2. Отметим, что рентгеновские лучи сильно взаимодействуют с электронами, поэтому при рассеянии рентгеновских лучей квазиимпульс может быть передан электронной системе.
71яЖк(г)=е1к-к»гр„к (г).
(Н.23)
exp li(ke+5knks).R0],
(Н.24)
ЛИТЕРАТУРА
1. Gottfried К., Quantum Mechanics, vol. 1, W. A. Benjamin, Menlo Park, Calif., 1966.
о
ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ В КРИСТАЛЛЕ
Пусть нейтрон с импульсом р в результате рассеяния в кристалле приобретает импульс р'. Предположим, что кристалл имеет степени свободы, обусловленные только движением ионов, а также будем считать, что до рассеяния ионы описываются собственным состоянием гамильтониана кристалла, отвечающим энергии Е(, а после рассеяния — состоянием, отвечающим энергии Е^. Будем описывать начальное и конечное состояния и соответствующие энергии суммарной нейтрон-ионной системы следующим образом.
До рассеяния
После рассеяния
= Еі + РУ2Мп.
?/ = грр,(г)Ф/, грр- = ^ = Еґ+р'*/2Мп.
V у
(0.1)
е'р' •г/''.
Удобно ввести переменные & ш q, описывающие изменение энергии нейтрона и переданный ему импульс
Йд = р' — р.
2М,
(0.2)
Будем описывать нейтрон-ионное взаимодействие с помощью потенциала V (г)='21и(г-г(П)) = ^ 2 ^е11" [г-г(н)]. (0-3)
И к, н
Поскольку радиус действия потенциала V имеет порядок 10-13 см (характерный ядерный размер), масштаб изменения его фурье-компонент составляет примерно 1013 см-1, и поэтому они по сути дела не зависят от к для волновых векторов порядка 108 см-1, т. е. в области, наиболее подходящей для экспериментов по определению фононных спектров. Константа ь>0 обычно записывается через длину а, которая называется длиной рассеяния и определяется таким образом, что полное сечение рассеяния нейтрона на одном изолированном ионе имеет в борновском приближении величину 4яа2 *). При этом формула (0.3) записы-
1) Мы предполагаем, что ядра имеют спин, равный нулю, и принадлежат только одному изотопу. Вообще говоря, необходимо рассмотреть возможную зависимость а от ядерного состояния. Это приводит к членам двух типов в выражении для сечения рассеяния. Один член отвечает когерентному рассеянию; он имеет такой же вид, как и полученное нами ниже сечение рассеяния, в котором, однако, длина рассеяния а заменена ее средним значением. Второй, так называемый некогерентный член, слабо зависит от энергии и наряду с многофононными процессами вносит вклад в диффузионный фон.
382
Приложения
вается следующим образом:
ум-тяг 2*№г(к)
(0.4)
к, И
Вероятность того, что за единицу времени нейтрон за счет своего взаимодействия с ионами испытывает рассеяние, отвечающее изменению импульса от р до р', почти всегда рассчитывается с помощью «золотого правила», справедливого в низшем порядке зависящей от времени теории возмущений 1):
(2лН)3
{МпУ)1
а2 2 б (Е} — Еі + Лее) 2 (фь е*ч-«*Щ)
1
(0.5)
Частота переходов р связана с наблюдаемым сечением о1а1<К1йЕ, поскольку сечение рассеяния, частота переходов и падающий поток нейтронов, / = = (р/Мп) | грр |2 = (1/У) (р/Мп), удовлетворяют равенству 2)
у <ка а1Е ¦¦
dQ.dE
dQ.dE аЬ-йП ~ (2яй)8 ~
PVp'2dp'dO PVMnP'dEdO
(2лН)з (2лп)3 • (°-6)
Если задано начальное состояние ? (и все конечные состояния /, допускаемые законом сохранения энергии, который учитывается в (0.5) наличием б-функции), то из формул (0.5) и (0.6) следует
da р' Ла2
dO dE
¦?г(д, со),
где
Ыч, со) = ^ ^ б(1^- + со) I 2 (Ф«, е*-«*Щ) і к
Для вычисления 5( представим б-функцию в виде
і(Ш)={
~2л
(0.7) (0.8)
(0.9)
и отметим, что любой оператор А удовлетворяет равенству
где
А (г) = еш"Ме-ІШ/\
*) См., например, книгу Парка [1]. Анализ данных,по нейтронному рассеянию в значительной степени основывается на использовании низшего порядка теории возмущений, т. е. борновского приближения. Члены более высокого порядка приводят к так называемым поправкам за счет многократного рассеяния.
2) Мы воспользовались тем фактом, что элемент объема dp' содержит Удр' 1(2пИ)3 нейтронных состояний с данным спином. (Доказательство этого утверждения проводится точно так же, как и в случае электронов; см. гл. 2.)
Теория рассеяния нейтронов 383;
5(Ч, = 2 е-іч-(Н-н'Ч-§-в«««(вхр[ід.и(К')]ехр[-ід.и(Н, і))),
Я, Я'
где
В результате получаем
(Л} =
уе-Е1/квт{Фь АФі)
__р' А^а2
dQ.dE ~ р Н
со).
(0.12)
(ОЛЗу
(0.14>
Величина 5 {ц, со), называемая динамическим структурным фактором кристалла, полностью определяется только свойствами самого кристалла и никак не связана со свойствами нейтронов *). Кроме того, в полученной нами формуле (0.14) совсем не используется гармоническое приближение. Следовательно, она имеет совершенно общий характер, и ее можно применить (если соответствующим образом изменить обозначения) даже для описания рассеяния нейтронов в жидкостях. Чтобы выделить характерные особенности рассеяния нейтронов в ионной решетке, воспользуемся теперь гармоническим приближением.
