Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
я=2 (п*»+т)й<мю- (м-21>
Для многих приложений (аналогичных рассмотренным в гл. 23) необходимо знать только вид (М.21) собственных значений гамильтониана Н. Однако в задачах, касающихся взаимодействия колебаний решетки с внешним излучением или друг с другом (т. е. в задачах, где существенную роль играют ангармонические члены), соотношения (М.14) оказываются чрезвычайно полезными, так как несмотря на то, что физические взаимодействия довольно просто выражаются через и и р, именно для операторов а и af легко найти матричные элементы, отвечающие стационарным состояниям гармонического кристалла.
Аналогичный метод используется для преобразования гамильтониана в в случае решетки с полиатомным базисом. Мы приведем здесь только окончательный результат.
х) Можно также воспользоваться тем обстоятельством, что в моноатомнон решетке Бравэ ш5 (к) = щ (—к) и es (к) = г„ (—к).
374 Приложения
Выражения (М.9) и (М.10) (которые теперь представляют собой определения операторов ак1 и oXg, s = 1, 2, . . ., Зр, где р —число ионов в базисе) остаются справедливыми, если сделать следующие замены:
u(R)^u{(R),
М-+М\ (М.22)
es(k)^ /лГ*е*(к) в (М.9),
е8 (к) -> /М{ е\* (к) в (М.10)
и просуммировать по индексу i (который определяет тип базисного иона). Теперь е* (к) представляют собой векторы поляризации классических нормальных мод, определяемые в соответствии с формулой (22.67) и удовлетворяющие соотношению ортонормированности (22.68), соотношению полноты
Зр
2 [в!* (к)]ц [ej (k)]v=-jjL- 6,av (м.23)
и условию ')
8*(-k) = e:*(k). (M.24)
Формулы обращения (M. 14) остаются справедливыми, если сделать замены2) (М.22), а коммутационные соотношения (М.13) и вид гармонического гамильтониана (М.20) оставить неизменными.
ЛИТЕРАТУРА
1. Park D., Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill, New York, 1964.
x) Совместно с условием (?>s (k) = <в„ (—k) оно практически всегда выполняется. Однако в случае многоатомной решетки векторы поляризации, вообще говоря, не обязательно действительны.
2) При обобщении обоих выражений (М. 14) необходимо использовать первое из двух преобразований векторов поляризации (М. 22).
н
СОХРАНЕНИЕ КВАЗИИМПУЛЬСА
Каждому типу симметрии гамильтониана соответствует некоторый закон сохранения. Гамильтониан кристалла обладает симметрией, тесно связанной с трансляционной симметрией решетки Бравэ. Эта симметрия приводит к закону сохранения, имеющему весьма общий характер, а именно к закону сохранения квазиимпульса. Рассмотрим гамильтониан
#=2Ч^г+т 2 *[н+и(Н)-н'-и(н')] +
И К, К'
™ 2
+ 2 2^г + т 2 и« (г*-г.-) + 2 "г (г«- к - и («))• (н-1)
Первые два члена представляют собой гамильтониан, описывающий ионные остатки. Отметим, что мы не воспользовались гармоническим приближением 1), а представили ион-ионное взаимодействие в весьма общем виде как сумму парных потенциалов 2). Следующие два члена — это гамильтониан, описывающий п дополнительных частиц, а последний член отвечает взаимодействию этих частиц с ионами. Чтобы сохранить общность рассмотрения, мы не конкретизируем природу указанных частиц, хотя интерес представляют следующие возможности:
1. Если п = 0, то речь идет об отдельно взятом диэлектрическом кристалле.
2. Если п = 1, мы можем применить наше рассмотрение для описания рассеяния одной частицы, скажем нейтрона, в диэлектрическом кристалле.
3. Если мы хотим рассмотреть металл сам по себе, то можем считать, что п частиц — это электроны проводимости (п ж 1023); в этом случае все тг равны массе электрона т, а все иц (г) представляют собой одинаковые функции от г.
4. Если нам требуется рассмотреть рассеяние нейтронов в металле, то п частиц — это электроны проводимости и испытывающая рассеяние внешняя частица.
*) Нам, однако, придется ввести операторы, определенные через фононные операторы а и а+ (см. приложение М). Эти фононные операторы не являются хорошо определенными, если система настолько отличается от гармонического кристалла с решеткой Бравэ {К}, что ее состояния лежат в совершенно ином гильбертовом пространстве. Поэтому несмотря на то, что наше рассмотрение формально применимо для любой системы (т. е. для жидкости или для кристалла с решеткой Бравэ, отличной от {К}), полученные результаты имеет смысл использовать только для кристалла с решеткой Бравэ (К).
2) Даже предположение о парном характере взаимодействия не является обязательным. Оно сделано только для того, чтобы гамильтониан Н имел конкретный вид, не слишком сложный, чтобы не затруднить рассмотрение.
376
Приложения
Отметим, что гамильтониан (Н.1) остается инвариантным при однородной трансляции:
гг-^гг + г0, 1 = 1, п,
и (Л) —>- и (К.) + г0 для всех К. \ • >
Это обычное преобразование симметрии приводит к закону сохранения полного импульса ионов и частиц, но это не та симметрия, которая нас интересует. Сохранение квазиимпульса является следствием того факта, что для вектора трансляции, равного вектору К0 решетки Бравэ, можно представить изменение положения ионов с помощью простого изменения обозначения ионных переменных. Иными словами, гамильтониан (Н.1) инвариантен также относительно преобразования
