Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ItllXl+Itl2X2+...+ TlliXi ^ TlliXi
X =_= J_.
ml+m2+'" + mi M '
2] тгУг Д] KIiZі
Точка с координатами X, Y, Z и называется центром масс.
В школе часто пользуются следующим приемом для определения положения центра тяжести. Исследуемое тело разбивается на несколько простых по форме частей, положения центров тяжести (O1 и O2 на рис. г) которых заранее известны, например из соображений симметрии. Центр тяжести О всего тела отыскивается потом на отрезке O1O2, на расстояниях от точек O1 и O2, обратно пропорциональных весам соответствующих частей. Легко доказать, что такие действия непосредственно вытекают из приведенных выше формул.
Вернемся к исходной задаче. Расположим стержень по оси х так, чтобы центр первого шара находился от начала координат на расстоянии X1 = а (а — расстояние между центрами соседних шаров). Тогда центр второго шара будет иметь координату х2 = = 2а и т. д. Очевидно, что Y = Z = О (так как все yi =0, Zi = 0), YiJniXi
Y-L_ _а-12 + а-22 + .., +g-lOQS
M ~ 1 + 2+...+100 Известно, что I2 + 2г + ... + га2 = п (п + 1)(2п + 1)/6. Кроме того, 1 + 2 + ... + п = п (п + 1)/2. Тогда находим что X = = 67а, т. е. цену) масс совпадает с центром 67-го шара.
41 ЗАДАЧА 24
Найти положение центра тяжести тела, представляющего собой два массивных шарика, соединенных невесомым стержнем. Длина стержня сравнима с диаметром Земли (рис. а).
РЕШЕНИЕ
Широко распространено следующее определение:
„Центром тяжести тела называется точка приложения равнодействующей всех элементарных сил тяжести, действующих на данное тело". В этом определении есть серьезная ошибка: у равнодействующей нет точки приложения, она имеет лишь линию действия.
Как известно, равнодействующей силою для системы сил F1, F2, ...,приложенных к телу и сообщающих ему ускорение а (в том числе а = 0), называется сила F, сообщающая этому телу то же самое ускорение а.
43 Нахождение равнодействующей основывается на следующем экспериментальном факте (рис. б).
Пусть на некоторое тело в плоскости .чертежа действуют силы F1 и F2. Построим их векторную сумму F = F1 + F2-Проведем линии действия этих сил и через точку пересечения О проведем линию О'О" вдоль направления F. Тогда, как показывает опыт, сила F, действующая по линии О'О", эквивалентна по действию обеим силам F1, F2, где бы вдоль прямой О'О" она ни была приложена. Таким образом, если для реальных сил F1 и F2 нередко можно указать точки их приложения (не всегда!), для построенной нами расчетным путем равнодействующей F такой точки нет: подойдут и точка О, и точки О', О" и т. д.
Определение центра тяжести в свете сказанного можно дать в следующем виде.
Найдем по правилу сложения параллельных сил линию действия равнодействующей всех элементарных сил тяжести, приложенных к телу. Центром тяжести будет называться точка О, через которую эта линия проходит при любом положении тела (рис. в), если эта точка существует.
Легко сформулировать (труднее доказать) условие существования центра тяжести — однородность гравитационного поля в области пространства, занятой телом. В земных условиях это требование легко реализуется для тел, размеры которых много меньше размеров Земли.
В случае, рассматриваемом в этой задаче, указанное условие не выполняется. Рис. г, где найдены три линии действия L1, L2, L3 для трех положений нашей ,,гантели", подтверждает, что общей точки у трех линий действия нет. Разные положения тела получены его поворотом относительно центра масс О (см. задачу 23).
Примечание. Аккуратный читатель заметит, что у названных трех линий действия L1, L2, L3 есть-таки общая точка пересечения — центр Земли. Это автоматическое следствие того, что поле тяготения Земли — центральное (т. е., что Земля сферически симметрична). Но в центре Земли будут пересекаться линии действия, принадлежащие любым телам любых раз-* мі'ров, следовательно, характеристикой тел эта точка не является. Следует договориться исключить ее из рассмотрения.
З А Д А Ч А 25
Космический путешественник собирается отправиться на Луну. Он берет с собой пружинные весы, гирю с массой tn1 = 1 кг и блок. Опустившись на поверхность Луны, космонавт подбирает камень, который вытягивает на его весах 1 кГ. Затем он подвешивает гирю и камень к нити, перекинутой через блок, и обнаруживает, что камень опускается с ускорением а = 1,2 м/с2. Чему равна масса
камня т„?
" ««
44 РЕШЕНИЕ
Рассмотрим опыт космонавта с блоком (см. рисунок). Пусть ускорение лунного притяжения равно gjj. Тогда по второму закону Ньютона
"Чёл + T1 = Traja11 m2gn + T2 = тга2а2,
где T1 и T2 — натяжения нитей, at и а2 — ускорения гири и камня. Так как T1 = T2 и — а, = = а2 = а, получаем, что
gn = a [Tn1+ /K2V(Tra2-Tra1), (1)
причем т2 > Zra1, иначе камень поднимался бы. Поскольку показания пружинных весов одинаковы для гири на Земле, где ускорение свободного падения равно g3, и камня на Луне, Tn1Q3 = = ^л. откуда
gn = gsm1/m2. (2)
Из соотношений (1) и (2) следует, что
(«Ч)і., = Т- —(1±}/ !-(i^j-
