Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
v0 = ygH+gVm+s\ -.(і)
30 J
Ча/ I К 2/
/\ VWl
можно попасть только с помощью определенного выстрела,
наклонив ствол к горизонту так, чтобы tg a = IH 4- (H2 4-+ S2)V2]/S. 5 ^V-T
Если в том же или любом другом направлении из орудия произвести выстрел с начальной скоростью v <' снаряд в эту точку не попадет. Следовательно, указанная точка (S, Н) лежит на искомой граничной поверхности.
Очевидно, что искомая поверхность симметрична относительно вертикальной оси выбранной системы отсчета. Поэтому достаточно найти уравнение линии пересечения этой поверхности с любой вертикальной плоскостью, проходящей через орудийную позицию.
Координаты точек, в каждую из которых можно попасть лишь единственным выстрелом, удовлетворяют соотношению (1). Рассмотрим это соотношение как уравнение, связываю- л щее координаты S и Н, и преобразуем его к виду
H = v\!2g — gS2/2vl. (2)
Таким образом, искомая линия является параболой, которая описывается уравнением (2), а искомая граничная поверхность — параболоидом вращения (см. рис. а). Как указывалось в предыдущей задаче, любая траектория (кроме траектории
при ос = я/2) касается найденной параболы не вершиной, но какой-то боковой точкой.
Получим одно интересное следствие из решения задачи. Построим поверхность, на которой расположены вершины траекторий всех снарядов.
Вершина траектории, соответствующей начальной скорости у0 и углу ос, расположена, как известно, в точке с координатами
S = V20 sin ос cos a/g; H = vi sin2 ос/2g.
Исключая из этих уравнений угол ос, получим, что H2 S2/4 — (v\j2g) H = 0.
Линия, описываемая этим уравнением, симметрична относительно координатной оси Н, проходит через начало координат и пересекает ось ординат в точке H = vl!2g. Такая линия называется эллипсом (см. рис. б).
Искомая поверхность является эллипсоидом вращения.
Эллипсоид и параболоид вращения делят пространство на три области. В точки, расположенные вне параболоида вращения
К задаче 16.
31 по отношению к орудию, при данной начальной скорости попасть нельзя. Любую неподвижную цель, находящуюся внутри эллипсоида, можно поразить снарядами как при восходящем, так и при нисходящем их движении. В цели, расположенные между параболоидом и эллипсоидом, снаряды попадают только при нисходящем полете.
Примечание. В связи с этой и рядом других задач необходимо знать следующее.
Любому соотношению вида / (я, у) = О (где / (я, у) — произвольная непрерывная функция двух переменных) на плоскости оху можно сопоставить некоторую линию такую, что координаты любой точки линии удовлетворяют данному соотношению, и, наоборот, любая пара значений X, у, удовлетворяющих соотношению, дает точку, принадлежащую линии. Тогда соотношение / (я, у) = 0 называется уравнением линии. В школе широко известны графики прямой линии (у = ах + Ь), параболы (у = ах2 + Ъх + с), гиперболы (ху = а). Приведенные в скобках соотношения есть, следовательно, уравнения прямой линии, параболы и гиперболы.
В настоящем сборнике используются также уравнения эллипса (а2х2 + Ь2у2 — с2 = 0) и окружности (х2 + у2 - R2 = 0).
ЗАДАЧА 17
Автомобиль с колесами радиусом R движется без проскальзывания по горизонтальной дороге со скоростью v. На какую максимальную высоту над поверхностью Земли забрасываются капли грязи, отрывающиеся от колес?
РЕШЕНИЕ
Очевидно, что высота, на которую подлетает оторвавшаяся от колеса капля, зависит, во-первых, от высоты точки отрыва над поверхностью Земли и, во-вторых, от вертикальной составляющей скорости капли.
Поскольку вертикальные составляющие скорости любой точки колеса одинаковы в двух системах отсчета — в системе, жестко связанной с Землей, и в системе, связанной с осью колеса и движущейся поступательно относительно Земли, — эти системы в рассматриваемой задаче совершенно равноправны. Выберем из них вторую.
Пусть капля отрывается от края колеса в точке А (см. рисунок). В выбранной системе отсчета модуль ее скорости Va для любого положения точки А подчиняется равенству vA = v. Вертикальная составляющая скорости поэтому vy = v sin ее. После отрыва от
32 колеса капля движется с ускорением g, так что высота ее подъема над поверхностью Земли определяется выражением
k = R(l — cos a) + v2 sin2 a/2g. (1)
Если рассматривать последнее соотношение как уравнение относительно величины cos а, то его корни будут равны
(cos CO1,2 = -
Rg
(2)
причем эти формулы имеют физический смысл только при выполнении условий
h-
2g\v-
Rg
а+1
I (cos a)li215? 1.
Из последнего неравенства с учетом (1) следует, что 1) если Rgiv2 =SS 1, то корень (Cosa)1 имеет физический смысл при
а корень (cos a)2 — при h ^ 2R\ 2) если Rglv2 > 1, то (cos a)x имеет смысл при h ^ 2R, а (cos a)2 смысла не имеет.
Следовательно, искомая высота подъема капель определяется выражением
vII^ ,Л2 rS
. 2е I т 1
^max= '
2 R, -?->!.
V
Rg
Vі
К задаче 17.
1;
Как видно, если скорость автомобиля мала (гЯ Rg), то выше всего поднимаются те капли, которые от колес не отрываются.
