Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
в) Шарик, совершающий на длинной нити колебания, участвует как в поступательном, так и во вращательном движении (см. рисунок), поворачиваясь вокруг своего центра между крайними положениями на угол 2ср (в действительности чуть меньше). В отличие от предыдущего случая это вращение неравномерно и вызывается теми же силами, которые создают ускорение посту-
49 петельного движения шарика. Поэтому безоговорочно пренебрегать вращением нельзя.
Сравним параметры поступательного и вращательного движения. Когда в поступательном движении шарик проходит расстояние OO1 == /ф, I — длина нити, то за счет вращения перемещение, например, верхней точки N шарика составляет величину гф, где г — радиус шарика. Средние скорости обоих движений пропорциональны соответствующим перемещениям, так как зависимость от времени в обоих случаях одинакова — синусоидальная. Поэтому vBfvjj = r/l, где vB — скорость вращательного движения точки N, vn — скорость поступательного движения шарика.
Следует учесть, что скорость v'B вращательного движения любой внутренней точки N' шарика подчиняется соотношению
VB<VB, (1)
так как точка N ближе к оси вращения, чем точка N.
Для кинетических энергий поступательного и вращательного движения шарика, учитывая соотношение (1), придется написать уже строгое неравенство
TB/Tn<(vB/vn)* = (r/l)\ (2)
Но по условию г Il ^ 1. Тем более мало {гИ)"1. Это обстоятельство дает нам право пренебречь и самим вращательным движением шарика, и энергией этого движения, если нас интересуют характеристики поступательного движения, например период. Наше пренебрежение тем более обосновано, а результат тем более точен, чем лучше выполняется последнее неравенство.
Итак, при изучении колебаний математического маятника, мы вправе, допуская лишь незначительную погрешность, не учитывать вращение шарика и считать его движение строго поступательным. Всю массу шарика в этом случае можно считать сосредоточенной в одной точке.
Два последних рассмотренных случая допускают следующее обобщение: если в течение некоторого промежутка времени изменение энергии вращательного движения тела значительно меньше изменения энергии поступательного движения, (при этом соотношении между величинами самих энергий может быть каким угодно), то при рассмотрении поступательного движения тела мы вправе в течение этого промежутка времени считать его материальной точкой.
49 Анализ случаев а), б), в) позволяет сделать следующий вывод.
Если на тело конечных размеров действуют несколько внешних сил, то ускорение центра масс тела (см. задачу 23) можно вычислить следующим образом: всю массу тела считать сосредоточенной в центре масс, силы — приложенными к этому центру, и затем воспользоваться вторым законом Ньютона (см. задачи 46, 67). Если при этом вращением тела под действием данных сил можно пренебречь с удовлетворяющей нас точностью, тело является материальной точкой.
Иными словами: если в условиях данной задачи размеры тела допустимо не учитывать, такое тело можно считать материальной точкой.
Разумеется, одно и то же тело в разных задачах может быть, а может и не быть материальной точкой.
ЗАДАЧА 29
Доска 1 покоится на столе, на ней лежит брусок 2 (рис. а).
зонтальная сила F, линейно увеличивающаяся со временем (рис. б). С какими ускорениями будут двигаться оба тела, если между соприкасающимися поверхностями действуют силы трения?
РЕШЕНИЕ
Будем для краткости проекции ускорений ах, а2 доски и бруска соответственно на направление силы F называть просто ускорениями и обозначать alt а2.
График зависимости этих величин от времени представлен на рис. б. Поясним его.
. Обозначим массу доски Tn1, бруска — тг, коэффициент трения доски о стол /1? бруска о доску — /2.
На участке AB % = O2 = 0, так как F ^ (Tn1 + т2) gfv т. е. действующая на доску сила меньше максимально возможного значения силы трения покоя между столом и доской. Как только сила
51 древысит это значение, доска и брусок придут в движение с одинаковыми возрастающими ускорениями (участок ВС): Ci1 = а2 =¦ = [F — fig Xm1 + ттг2)]/(Tn1-^m2). (Здесь и дальше следует иметь в виду, что равенства для ускорений справедливы каждое лишь в ограниченной области изменения силы F\ границы этих областей оговариваются в тексте решения.)
Как только величина силы трения покоя между бруском и доской достигает значения f2m2g, ускорение а2 прекратит увеличиваться, сохранив величину, соответствующую точке С: а2 — fig (участок CD). Ускорение аи напротив, растет быстрее, чем прежде (CE): Ci1 = [F — fxg (Tn1 + т2) — f^m2Mm1.
Когда брусок соскользнет с доски (точка D) и упадет на стол (точка F), он будет двигаться с замедлением а2 = — fsg (f3 — коэффициент трения бруска о стол) до полной остановки (/). Выброс в точке F связан с тем, что в момент удара давление бруска на стол превышает вес бруска.
Освободившись от бруска, доска скачком увеличит свое ускорение до значения Ci1 = (F — Z1^ttc1)Im1. В дальнейшем (участок KL) скорость роста ускорения Ci1 не меняется и равна скорости роста на участке СЕ.
