Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ащеулов С.В. -> "Задачи по элементарной физике" -> 11

Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.

Ащеулов С.В., Барышев В.А. Задачи по элементарной физике — Ленинград, 1974. — 191 c.
Скачать (прямая ссылка): zadpoelementfiz1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 70 >> Следующая


2-й способ. Полезно познакомиться с еще одним удобным способом графического изображения движений. Допустим, что некоторое тело совершает движение, траектория которого лежит на плоскости. Введем на этой плоскости прямоугольную систему координат оху. Пусть в момент времени t тело имеет координаты X ж у. Добавим к нашей системе координат третью ось oz (oz J_ ox, oz J_ оу), по которой будем откладывать время t. Три числа X, у и t изображаются в нашей системе точкой M. Множество этих точек для движения интересующего нас тела образует некоторую линию, которая называется мировой линией нашего тела. (Пример мировой линии для прямолинейного движения — кривая, изображающая зависимость от времени высоты тела, брошенного вверх. Мировая линия этого тела является, таким образом,отрезком параболы.) Мировые линии всех кораблей в нашей задаче являются прямыми, так как корабли движутся прямолинейно с постоянными скоростями.

Если мировые линии двух тел пересекаются, то эти-тела сталкиваются. (Заметьте, что если пересекаются траектории тел, то это еще не означает столкновения, так как через точку пересечения траекторий тела могут пройти в разные моменты времени. Поэтому аппарат мировых линий очень удобен при составлении сложных

28 расписаний движения транспорта и используется, например, железнодорожниками. Расписание должно быть составлено так, чтобы мировые линии поездов пересекались только во время остановок.) По условиям задачи мировые линии А, Б и В попарно „пересекаются" (почти пересекаются), т. е. лежат в одной плоскости. Мировая линия Г лежит в той же плоскости, так как она „пересекает" линии А и Б. Так как скорости В та Г различны, мировые линии В vi Г ве параллельны, т. е. „пересекают" друг друга, что и означает „столкновение" кораблей В и Г.

З А Д А Ч А 15

Необходимо поразить неподвижную цель, расположенную на расстоянии S от орудия по горизонтали, на высоте H над поверхностью Земли. Какова наименьшая скорость снаряда в момент выстрела V0, при которой эта задача выполнима? Сопротивлением воздуха пренебречь.

РЕШЕНИЕ

Укажем Сначала на очень распространенную ошибку в рассуждениях: говорят, что траектории, вершина которой совпадает с положением цели, соответствует наименьшее значение начальной скорости снаряда. Основанные на этом расчеты приводят к выражению

*>„' = V2gH(2H* + S*)/2H.

Это утверждение кажется на первый взгляд справедливым; однако оно не только бездоказательно, но и неверно.

Начало системы отсчета поместим в точку, где находится орудие, оси системы направим горизонтально и вертикально. Если выстрел произведен под уголом а к горизонту с начальной скоростью V0, а траектория снаряда проходит через точку с координатами S и Н, то справедливо соотношение

H = S tg а - gS*/2vl cos2 а.

Найдем отсюда V0:

gS? 1

IX = -

2 (Jtg а — Я) cos2 а"

Задача теперь состоит в подборе такого значения а, при котором величина i?o минимальна.*

Для удобства записи формул введем обозначения: tg a = z, HIS = к. Тогда .

S gS 1+22

yO = V-^fc- z>k¦

* Следует помнить, что задачи, на экстремум отличаются принципиальной особенностью . Правильно решить такую задачу значит не только указать верное значение искомой величины, но и строго доказать, что найденное значение действительно превосходит любые другие в отношении требуемого свойства.

-v..

29, Преобразуем величину (1 + г2)/(г — к), разделив числитель последнего выражения на знаменатель. В результате получим, что

!±2= = 2ft+V?+T (-±=L + 2 — к r^ Vah + 1 2 — к і

Сопоставляя это выражение с классическим неравенством (см. примечание к этой задаче) х + \!х 2 при х > 0, приходим к выводу, что минимум V0 имеет -место при выполнении условия

^ ' tga0 = z = k+Vk2 + i =

х =(H+VW+s^)/s

\ и определяется выражением v0 min = \ = IgH + g (Я2 + Si) V2] 1/2. Нетрудно \ видеть, ЧТО V0 min < V0-V Интересно отметить, что траекто-

0 S рия снаряда, соответствующая най-

K задаче 15. денным величинам а0 и V0 шіш имеет

вид, указанный на рисунке сплошной линией. Вершина траектории расположена по горизонтали ближе к орудию, чем цель, и находится выше цели. Снаряд попадает в цель на излете (т. е. когда вертикальная составляющая его скорости направлена вниз). Пунктиром на чертеже изображена траектория, вершина которой совпадает с положением цели.

Читателю рекомендуется самостоятельно доказать, что траектория построена правильно.

Примечание. Многие школьные задачи на максимум или минимум некоторой величины используют тот факт, что функция х + Их, где х 0, имеет минимальное значение при х = 1. Действительно, X + Их = X — 2 + Mx + 2 = (®V2 — 1/а;1/2)2 + 2; так как 0г!/2 _ l/zi/2)2 ^O при X > 0, TO X + Mx Ss 2, минимальное же значение достигается при х1Z2 = 1 IxiI2, т. е. при X = 1.

ЗАДАЧА 16

Зенитное орудие производит выстрелы во всевозможных направлениях. Начальная скорость снарядов V0. Определить границу области, которая простреливается йз этого орудия.

РЕШЕНИЕ

Из решения предыдущей задачи следует, что при заданной начальной скорости снарядов V0 в точку с координатами S и Н, такими, что
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed