Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
З А Д А Ч А 21
Куб опирается одним ребром на пол, другим — на гладкую вертикальную стенку. Определить, при каких значениях угла между полом и боковой гранью возможно равновесие куба. Коэффициент трения куба о пол равен /.
РЕШЕНИЕ
На куб действуют силы: сила тяжести G, сила трения F, реакции стенки Q1 и пола Q2 (см. рисунок).
Из условия равенства нулю суммы сил следует, что G = Q2, F = Q1. Равенство нулю суммы моментов всех сил (если моменты вычислять относительно точки О) дает, что
Q1Ci sin a = G (У~2 а/2) cos (я/4 + а),
где а — ребро куба. Кроме того, F^fQ2.
Решая выписанные уравнения относительно величины а, находим, что tga 1/(2/ + 1).
Надо также учесть, что при a > я/4 куб опрокинется. Окончательный ответ имеет вид Oc0SSa==;
я/4, где а0 таково, что tg a0 = = 1/(2/ + 1).
Легко видеть, что а0 всегда меньше я/4, если / > 0. Если / = О, a = a0 = я/4.
/777777777,
К задазе 21. Примечание. В задачах, составленных применительно к школьной программе, моменты сил подсчи-тываются иногда относительно некоторой произвольной точки. Это, однако, частный случай использования общего определения, по которому моменты сил должны вычисляться относительно некоторой оси. Если же все рассматриваемые силы лежат в одной плоскости (именно так и оказывается в школьных задачах), а ось выбрана нами перпендикулярно этой плоскости, то найденные по общему правилу моменты сил (относительно оси) совпадают с моментами тех же сил относительно точки, где ось пересекает плоскость.
ЗАДАЧА 22
На какую максимальную высоту может подняться человек по невесомой лестнице длиною I, приставленной к гладкой стенке? Угол между лестницей и полом равен а, коэффициент трения о пол / (см. рисунок)-
РЕШЕНИЕ
Ha лестницу действуют силы: вес человека G, приложенный на расстоянии х от нижнего ее конца, реакция со стороны стенки Q1 (так как стена гладкая, трение между нею и лестницей отсутствует), реакция пола Q2 и сила трения у пола F. Так как лестница неподвижна, сумма действующих на нее сил равна нулю:
G+Q! + Q2 + F = 0, (1)
сила же трения F не превышает максимального значения силы трейия покоя, т. е.
F^fQ2- (2)
Из равенства нулю суммы моментов сил, действующих на лестницу, относительно точки О получаем, что
F"" о......* Qlsina = Gxcosa. (3)
К задаче 22. Тогда из выражений (1) и (2) сле-
дует, что Q1 sS fG или G Q1Zf, а из соотношения (3) — что X =? fl tga. При этом интересующая нас максимальная высота определится из выражения h = х sin а = = fl sin a tg а.
Не следует, однако, забывать, что величина х не может превышать длины лестницы I. Следовательно, окончательный ответ имеет вид:
1) если f tg a sS 1, то h = fl sin a tg а. •
2) если / tg a 1, то Л = I sin а.
40 ЗАДАЧА 23
Сто шаров весом 1, 2, З, ..., 100 кГ * расположены последовательно на прямом невесомом стержне, причем расстояния между центрами соседних шаров одинаковы (см. рис. а) и равны а.
Найти центр тяжести такой системы.
РЕШЕНИЕ
1-й способ. Несмотря на внешнюю сложность задачу можно решить вообще без вычислений.
Рассмотрим „треугольную" фигуру, сложенную из правильных шестиугольников, в каждой стороне которой содержится N шестиугольников (см. рис. б). Центр тяжести P такой фигуры обязан лежать на точке пересечения трех осей симметрии O1Otu O2Ol OaOl т. е. его положение совпадает с центром тяжести правильного треугольника O1O2O3, вершины которого лежат в центрах крайних шестиугольников.
Пусть вес каждого шестиугольника 1 кГ, N = 100, а направление силы тяжести , совпадает с направлением вектора g на рисунке. Найдем сумму моментов всех сил тяжести относительно точки Р. Для этого можно,
а
1 2 3 4 5 P
©—O-O-O-Q--.--
wt
К задаче 23. —
* В задаче 104 указано на два смысла понятия „вес". В данном сборнике задач, как правило, используется второе содержание этого термина, за исключением устоявшихся, типовых словосочетаний вида „гиря весом в 1 кГ", ,,невесомая нить" и т. д.
В системе единиц СИ единицей силы, следовательно веса, является ньютон. Поскольку в практике укоренилось использование килограммов или граммов для измерения этих величин, то мы намеренно сохраняем традиционные единицы. Напомним, что 1 кГ = 9г8 H1
41 в частности, перенести все силы вдоль по линиям их действия до оси O1Oi- В результате, если сторона шестиугольника равна 2а/3, получим то же самое распределение сил, что и в случае стержня с шарами (рис. в). Следовательно, центр тяжести фигуры так же удален от точки O1, как центр тяжести стержня с шарами от центра первого шара. Так как O1P = 2/3 O1A, искомый центр тяжести совпадает с центром 67-го шара.
2-й способ.
Полезно знать, что центр тяжести тела совпадает с центром масс. Однако понятие „центр масс" более общее; в частности, центр масс есть у любого тела, в то время как центр тяжести — лишь у тел, находящихся в однородном поле тяжести (см. задачу 24).
Определяется центр масс так. Пусть дано некоторое тело массой М. Разобьем его мысленно на малые элементы с массами Tn1, тп2, т3, ..., Tni. Пусть координаты соответствующих элементов в некоторой системе отсчета равны хъ уи Z1, х2, у2, Z2; ...; Xi, у{, Zi. Вычислим следующие величины:
