Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
S = vi + af/2 (1)
и получил следующие ответы:
а) AS = S ~ {vt + atV2); AS = 112,5 м;
б) v = (2S — at2)/2t] V1 = 45 м/с, у2 = 50,8 м/с;
в) а = (25 — 2AS — 2vt)/t2\ а = —2,25 м/с2.
Не совершил ли он при этом ошибок?
РЕШЕНИЕ
Уравнение (1) связывает друг с другом три векторные величины: перемещение S тела, его скорость v и ускорение а. В случае прямолинейного движения с постоянным ускорением справедливо и такое соотношение: S = vt at2/2, где S, V и t — проекций соответствующих векторов на направление движения тела. Но нельзя упускать из виду, что проекция перемещения S не есть длина пути (последняя обозначается той же буквой S). Эти величины численно всегда совпадают для равноускоренного прямолинейного движения, а для равнозамедленного прямолинейного — лишь при t < I via [.
Этого школьник и не учел. Для указанных случаев имеем:
а) Через 6 с поезд остановится. Что с ним будет через 7 с, из условий задачи не известно. В таких случаях говорят, что задача не определена, иными словами исходных данных недостаточно для ответа на поставленные вопросы.
б) Уравнение V = (2S — at2)/(2t) справедливо только при условии, что t ^ I 2Sla P2, которому данные задачи не удовлетворяют. Задача решений не имеет. Нетрудно вычислить, что максимальное время торможения imax = |2Sla |1/2 = 9 с.
в) Дополнительное условие к уравнению S = vt + ai2/2 имеет вид t <2 (S— AS)Iv. При данных числовых значениях величин S, AS, V и t задача решений не имеет.
З А Д А Ч А 13
Пассажир стоял у начала вагона с порядковым номером к. Поезд тронулся с места, после чего оказалось, что вагон номера тга двигался мимо пассажира t с. Какое время займет прохождение
26 мимо этого пассажира вагона номера га? Движение поезда равноускоренное, длины вагонов одинаковы, пассажир неподвижен относительно платформы.
РЕШЕНИЕ
Иногда эта задача вызывает недоумение: „Так мало дано! Вот если бы были еще известны ускорение или длина вагона...". Однако, поскольку и в данных задачи и в поставленном вопросе речь идет только о времени, можно надеяться, что разумно введенные дополнительные неизвестные удастся исключить в процессе решения.
Обозначим время, за которое мимо наблюдателя прошли все вагоны с номера к по номер тп— 1 включительно, символом fm_x, по номер т, — символом tm, по номер (п—1) — tn_lt по номер п — tn; время прохождения самих вагонов с номерами к, тп и п — Lth, Aim и Atn соответственно. Тогда справедливо, что
A^m = ^m-1' ^tn = tn tn_v (1)
Если длина вагона равна I, а ускорение поезда а, то для вагона к
l = a{Mhf!2. (2)
Из последнего соотношения (2Z/a)1/2 = Ath.
За время tm мимо пассажира прошло тп — (к — 1) вагонов, поэтому соотношение типа соотношения (2) запишется в этом случае в виде (тп + 1 — к) I = atm/2, откуда tm = (21/а)^2х Х (тп + 1 — к)1/2 = Atk(m + 1 — к) V2. Аналогично tm_± = tk(m— —к) 1^2. С учетом равенства (1) получаем, что
д^__^m ^m-X____^__
k~ Vm+l—k—Vm — k ~ Vm +1 — к — Vm-к '
Проводя те же выкладки для вагона с порядковым номером п, найдем, что искомое время определяется выражением •
мп = (V^+T^k-V^k)^th = ^-H-*
У m+ 1—к — ут — к
Так как по условиям задачи т, п^к, то все корни имеют смысл, знаменатель в ноль не обращается. -
З А Д А Ч А 14
Четыре корабля А, Б, В ж Г плывут в тумане с постоянными скоростями прямолинейными курсами. Корабли А и Б чуть не столкнулись; назовем это событие „столкновением". Известно, что произошли следующие „столкновения": А и Б, А и В, А и Г, Б и В, Б и Г, причем в одном месте в одно и то же время „столкнулось" не больше двух кораблей. Доказать, что при этом корабли В и Г также „сталкиваются", если их скорости по величине различны. *
¦ Дж. JI и т л в у д. Математическая смесь, M., „Наука", 1965.
27 РЕШЕНИЕ
1-й способ. Как правило, когда интерес в задаче представляют расстояния между движущимися телами, бывает полезно вести рассмотрение в системе отсчета, в которой одно из тел неподвижно (см., например, задачи 6, 7).
Рассмотрим события с точки зрения наблюдателя, находящегося на корабле А. В этой системе отсчета траектория корабля Б является прямой линией, проходящей через точку А (сам корабль А в этой системе неподвижен), раз происходит „столкновение" А и Б. Траектория корабля В также есть прямая линия, проходящая через точку А ¦ Допустим, что эта траектория имеет вид пунктирной прямой (см. рисунок). Если это действительно так, то в точке А происходит „столкновение" сразу трех кораблей: А, Б и В, (иначе не „столкнутся" корабли Б я В), что противоречит условиям задачи. Следовательно, в нашей системе отсчета траектории Б и В совпадают, а столкновение Б я В происходит не в точке А, а где-то в другом месте. Точно так же можно убедиться, что траектория Г совпадает с траекториями Б я В. Поскольку скорости В и Г (относительно Земли) по ус-
K задаче 14. ловию различны, различны и их скорости
в выбранной системе отсчета. В этой системе, таким образом, В я Г движутся по одной прямой с разными скоростями, а следовательно, неизбежно „столкнутся", если еще не „столкнулись".
