Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧА 19
Какой силой F можно удержать на месте брусок массой т, лежащий на гладкой наклонной плоскости с углом при основании а?
• М. M и н н а р т. Свет и цвет в природе, M11 Физмахгиз, 1959, 2* 35 РЕШЕНИЕ
На брусок действуют следующие силы: сила тяжести mg, реакция опоры Q и искомая удерживающая сила F (см. рис. а). По условиям задачи mg + Q + F = O.
Проектируя это векторное равенство на оси ох и оу, где оу перпендикулярна, а ось ох параллельна наклонной плоскости, получаем, что
Q — mg cos a -f- Fy = 0, 1 — mg sin a + F1==O. j
Из этой системы (учитывая, что если брусок лежит на плоскости, то должно выполняться неравенство Q ^ 0) находим, что
К задаче 19.
Для наглядности все силы, удовлетворяющие последним соотношениям, можно изобразить в координатных осях Fx, Fy, ориентированных по Ox и Oij соответственно. Если начало искомого вектора F совпадает с началом системы координат О, то конец этого вектора должен лежать на полубесконечном луче AB (см. рис. б).
Уместно пояснить, зачем нужны такие „идеальные" задачи (см. также задачу 32), поскольку очевидно, что в реальных условиях соскальзывание бруска неизбежно сопровождается возникновением сил трения, которые в задаче считаются отсутствующими.
Любой реальный физический процесс столь сложен, что полный учет всех действующих факторов принципиально невозможен. Неизбежно приходится идти на упрощения, ограничиваясь исследованием лишь основных из этих факторов. Заметим, что надо обладать определенным чутьем, чтобы в конкретных ситуациях ото-
36 брать именно основное и отсеять второстепенное. Так возникают многочисленные физические модели и идеализации (материальная точка, твердое тело, идеальный газ и т. д.). Используя их, следует помнить, что любая модель имеет ограниченную область применимости.
Что касается настоящей задачи, то скольжение почти без трения можно организовать достаточно легко, использовав в качестве бруска массивную тележку на легких, свободно вращающихся колесах. При этом полученный нами ответ окажется достаточно близким к действительности.
Учет трения существенно усложняет решение (см. задачу 20).
На наклонной плоскости с углом при основании а находится брусок весом G. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен /. Какую силу F следует приложить к бруску, чтобы он был неподвижен?
РЕШЕНИЕ
Введем систему координат оху, так что ось ох параллельна наклонной плоскости, ось оу перпендикулярна к ней, причем обе оси лежат в вертикальной плоскости.
На брусок действуют силы: сила тяжести G, реакция опоры Q, удерживающая сила F и сила трения Ftp. Направление последней
может быть и противоположным указанному на рис. а. Так как брусок неподвижен, то
ЗАДАЧА 20
Z
К задаче 20.
G + Q + F + FTp = 0.
(1)
При этом обязательно
I Ftp |< /<?,
(2)
87 а реакция Q направлена вверх от наклонной плоскости. Проецируя равенство (1) на ось оу, получаем, что G cos a + Q + Fу = О, где Q О или
FyS^G cos а, (3)
Q=Gcosa-Fy. (4)
Проекция на ось ох приводит к соотношению —G sin a + Fx + -f- Ftp = 0, из которого с учетом (2) и (4) следует, что
I — G sin a + Fx I «S/ (G cos а — Fy).
Последнее неравенство имеет два решения: 1) если —G sin а + + Fx^ 0, то
/ (G cos а — Fy) + G sin а Fx G sin а; (5)
2) если —G sin a + Fx s^. О, то
G sin a ^F f(Fy— G cos а) + G sin а. (6)
Таким образом, указанному в задаче условию удовлетворяет любая сила F, составляющие которой подчиняются соотношениям (5) и (3) или (6) и (3).
Для наглядности полученные решения иллюстрируются графически (рис. б соответствует случаю sin а >/cos а, рис. в — sin а / cos а). Любая сила, для которой изображающий ее вектор, начинаясь в начале координат, оканчивается в точке, принадлежащей заштрихованной области, удерживает брусок в состоянии равновесия.
Указанные на чертежах прямые описываются уравнениями
1. Fx = Gsina.
2. Fx=Gsina + fGcosa — fFy.
3. Fx = G sina-fG cosa +fFy.
4. Fy=G cosa.
Минимальные абсолютные значения искомых сил равны величинам fG (sin a — / cos a) в первом и нулю — во втором случаях.
Сравните результат с ответом на предыдущую задачу. При / 0 угол при вершине заштрихованной зоны также стремится к нулю, а сама зона в пределе вырождается в полубесконечный отрезок. Таким образом, нами получено решение, более общее, чем в задаче 19, однако за счет более сложных выкладок.
Можно ли считать такой ответ полностью исчерпывающим явление? Нет, это лишь следующая модель, более сложная и точная сравнительно с задачей 19, но по-прежнему идеализированная. Ведь использованное соотношение для сухого трения скольжения F^v = =fQ является идеализированным соотношением, справедливым лишь приблизительно в ограниченных пределах изменения величины нормального давления Q и т. д.
S3 И еще одно замечание. Пусть вектор, изображающий действующую на тело внешнюю силу F, заканчивается в точности на границе заштрихованной области. Как будет вести себя тело? Останется неподвижным? Будет двигаться? Если отвечать на такой вопрос в рамках нашей модели, то придется сказать, что оба ответа одновременно правильны. Тело находится в неустойчивом состоянии, когда сколь угодно малые воздействия (например, колебания наклонной плоскости, токи воздуха, даже броуновское движение молекул) будут то сдвигать его с места, то останавливать. К реальному ходу событий данное утверждение не относится: из-за неизбежных погрешностей в величине и направлении приложенной силы нам никогда не попасть концом вектора на линию. Да и сами линии в реальном опыте превратятся в полосы „неопределенности", тем более узкие, чем точнее нам известны значения величин / и а. Знать же эти величины абсолютно точно принципиально невозможно.
