Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
каковы бы ни были X, by, 8z. Выберем X так, чтобы обратить в нуль первый коэффициент. Тогда, так как 8j/ и 8z произвольны, их коэффициенты должны тождественно равняться нулю. Таким образом, получим одновременно:
Это — действительно уравнения равновесия, полученные нами ранее другим путем (п. 91). Сила, вызванная связью, является нормальной реакцией N поверхности, и написанные уравнения равновесия показывают, что точка М, предполагаемая совершенно свободной, находится в равновесии под одновременным действием заданной силы и
силы, имеющей проекции Отсюда следует, что
эта последняя сила представляет собой не что иное, как нормальную реакцию. Эта реакция называется реакцией связи; она происходит от связи, наложенной на точку.
Если поверхность задана в форме
X = <р (ft. ft). У = ф (ft. ft). z=u> (qlt q2),
то для всех вариаций Sq1 и bq2 величин q1 и q2 перемещение 8х, 8_у, 82, определяемое этими уравнениями, будет происходить по поверхности. Возможная работа
X8x+K83; + Z8z для такого рода перемещения примет вид
Q1 Zq1 -+- Q2 Zq2
и условия равновесия будут те же, что и полученные ранее:
Q1 = O, Q2=O.
Примечание. Во всех случаях, независимо от того, будет ли точка находиться в равновесии или нет, для любого возможного перемещения, допускаемого связью, работа реакции связи, т. е. нормальной реакции, равна нулю. 212
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
160. Точка на кривой. Если материальная точка вынуждена оставаться на неподвижной кривой
fix, у, г) = Q. ft(x, у, г) = 0,
то единственным перемещением, допускаемым этой связью, будет перемещение по кривой. Непосредственно видно, что если имеет место равновесие, то работа заданной силы на возможном перемещении равна нулю, так как сила нормальна к кривой, и, наоборот, если работа на возможном перемещении равна нулю, то сила либо равна нулю, либо нормальна к перемещению, причем в обоих случаях имеет место равновесие. Выведем отсюда уравнения равновесия, которые уже были получены нами ранее (п. 92). Мы должны иметь
§ == Xbx + Y by + Z Sz = 0
для всех перемещений, допускаемых связями, т. е. для всех ох, Sj/, Sz, удовлетворяющих уравнениям
которые выражают, что перемещение происходит но кривой. Следовательно, только одна из величин Sx, Sj/, Sz, например Sz, остается произвольной. Умножим теперь два последних уравнения на X и X1 и сложим их с первым. Получим:
каковы бы ни были X, X1, Ъг. Если X и X1 определить так, чтобы два первых коэффициента равнялись нулю, то и третий тоже должен будет обратиться в нуль, так как выражение должно равняться нулю при любом Sz. Следовательно, имеем одновременно
Эти уравнения выражают, что существует равновесие между непосредственно приложенной силой и силой, имеющей проекции ) df , > дА , df дЛ у df дА
Эта сила является нормальной реакцией связи. ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
213.
Если уравнения кривой представлены в виде
x = <!}{q), у = <И<7), z = (u(<7), то возможная работа будет
§ = (Xy' + Yif' + Zm') bq,
и условие равновесия будет
Xy' +YV +Zm' = 0.
В рассматриваемом случае, так же как и в предыдущем, независимо от того, будет ли точка находиться в равновесии, или нет, для любого перемещения, допускаемого связями, работа нормальной реакции связи равна нулю.
161. Свободное твердое тело. Пусть свободное твердое тело находится под действием заданных сил F1, F2, ¦ ¦ ¦, Fn. Это тело образовано большим числом материальных точек, вынужденных оставаться на неизменных расстояниях друг от друга. Это и будут связи, наложенные на систему.. В этом новом случае единственными возможными перемещениями, допускаемыми связями, являются те, при которых форма тела остается неизменной. Пусть для одного из этих перемещений а, Ь, с обозначают проекции скорости поступательного движения, а р, q, г — проекции мгновенной угловой скорости. Эти шесть величин могут быть выбраны совершенно произвольно, так как твердому телу можно сообщить какое угодно перемещение. Скорость точки (х, у, z) имеет проекции
Vx = a + qz— гу, Vy = b + rx-—pz, Vz = c+py — qx, так что возможная работа
JTv = Xtl Sxv + Kv 5_yv + Zv Szv силы приложенной к точке (xv, _yv, zv), равна STv = Xv (a + qzv — ryw) It 4- Kv (b 4- rx, — pzw) It
4- Zv (c+pyy — qx,)U.
Мы можем это выражение написать так: ITv = и [аХ, 4- Ь Kv 4- CZv +р (у,Zv — Zv Kv)
4- q (z,Xw — xvZv) 4- г (xv Fv — _у VXV)].
Следовательно, сумма работ на возможных перемещениях всех непосредственно приложенных сил будет
§ — EJTv = Ы [аЕХ4- ы К 4 cEZ -{-/?Е (уZ — zY) +
4 ?Е (zX— xZ) 4 гE (лК — уX)]. 214
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Если тело находится в равновесии, то коэффициенты при шести произвольных величинах равны нулю и мы действительно имеем
для любого перемещения, допускаемого связями, и, наоборот, если сГ равно нулю, каковы бы ни были эти произвольные величины, то необходимо, чтобы коэффициенты равнялись нулю, т. е. чтобы выполнялись условия равновесия.
Вне зависимости от того, находится ли тело в равновесии или нет, сумма работ реакций связей, которые являются здесь силами взаимодействия между точками системы, равна нулю для любого перемещения, допускаемого связями. В самом деле, пусть M1 и M2 — две точки тела, находящиеся на расстоянии г друг от друга. Точка M1 оказывает на точку M2 какое-то действие F1, направленное по M1M2, а точка M2 согласно закону равенства действия и противодействия оказывает на точку M1 равное и прямо противоположное действие F2 (п. 88, рис. 62). Эти две силы являются реакциями связи, вызванными взаимодействием обеих точек M1 и M2, связанных между собой так, что они остаются на неизменном расстоянии друг от друга. Для того чтобы осуществить эту связь, можно вообразить, что обе точки связаны между собой твердым стержнем, лишенным массы. Условимся, как и раньше, называть алгебраическим значением силы F взаимодействия обеих точек абсолютное значение этого действия, взятое со знаком -(- или — в зависимости от того, отталкиваются точки или притягиваются. Для произвольного возможного перемещения, сообщенного обеим точкам, сумма работ обеих сил равна (п. 88)
