Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
где через с2 обозначена положительная постоянная BjT1 и через b — другая постоянная. Ось х всегда можно переместить параллельно самой себе так, чтобы последняя постоянная исчезла и чтобы уравнение равновесия приняло вид
Таким образом, получено дифференциальное уравнение кривой, форму которой примет ось стержня. Для интегрирования этого уравнения обозначим через 6 угол, образованный нормалью в точке M с осью Oy (рис. 104); если точка M переместится на ds, то нормаль повернется на угол de и мы получим
(О
Tiyi-Ty-N1^N = O,
7-1(^-^)-^1 + 0(1-1) = 0.
1 1Z ьч
?o — J_ _ L
ds р сї 198
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
откуда, дифференцируя, получим
d*e Idy 1-е /QV
ЗР=^SF=-^8lne- <3>
dy . д dx д
так как ~ =— sin а и — = cosb. ds ds
de
Умножим обе части уравнения (3) на и проинтегрируем. Получим
(?У = 1(со«е+р). ds=-. СМ = , (4)
\ds) + Y2 (cos Є + ц)
где (А—произвольная постоянная. Теперь находим
с cos 6 de
dx = cos 6 ds =
± У2 (cos Є -)- (j.) '
откуда
Г cos в de
х = с --f =z. (5)
Здесь нет необходимости добавлять постоянную, так как всегда можно в качестве оси Oy выбрать нормаль к кривой, перпендикулярную к оси Ох. С другой стороны, имеем
У = І = ±cV2(cosQ +(X). (6)
Формулы (5) и (6) определяют X и у в функции 6. Здесь нужно различать три случая в зависимости от того, будет ли jx лежать внутри промежутка (—1, +1), или будет больше 1, или равняться 1.
Укажем вкратце форму кривой в этих трех случаях. Анализ будет основываться на следующих замечаниях.
Условимся отсчитывать дугу s кривой от точки А, лежащей на оси Oy (рис. 104), и примем в качестве положительного направления для s направление движения точки, абсцисса которой, будучи в начале равна нулю, становится положительной. Когда кривая описывается в этом направлении, S всегда возрастает; следовательно, ds всегда положительно и в формуле (4) радикал всегда имеет тот же знак, что и de. Этот знак радикала должен быть сохранен во всех последующих формулах. Из формул
~ = — sin 6, ^ = Cos 8 (7)
ds ds
видно, что при возрастании s координаты у и х возрастают или убывают в зависимости от того, положительны или отрицательны величины — sin ft и cos 0. Наконец, точками перегиба являются те точки кривой, в которых она пересекает ось х, так как уравнение (2) показывает, что р обращается в бесконечность при у = 0, и наоборот.
Ось Oy является осью симметрии кривой. ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
199
: — COS а.
Первый случай. — 1 < (X < 1. В этом случае можно положить (х : и радикал, содержащийся в формулах, принимает вид
V^(O)S в+ fx) = 2 (COS 0 — COS а).
Для того чтобы он был вещественным, необходимо, чтобы 6, начиная от нуля, изменялось между — а и +а. Когда 0 изменяется от О до а, получается дуга AB (рис. 104, а\ рис. 105, а, б, в); когда 0 изменяется от О до —а, получается симметричная дуга AB'.
в)
Рис. 105.
В точках BmB' кривая пересекает ось Ox под углом а, так как нормаль в точке, например, В образует с осью Oy угол а. Абсцисса точки В на основании формулы (5) будет
-/
cos 0 M
У"2 (COS 0 — COS а)
(8)
где радикал берется положительный.
Когда угол а — острый или прямой, величина Jc0 получается положительной, так как все элементы интеграла положительны (кривая на рис. 105, а)\ когда а возрастает, начиная от л/2, величина Jc0 будет сначала положительной (форма на рис. 104, а), затем обратится в нуль при некотором значении а0 величины а (форма на рис. 105, б) и после этого становится отрицательной (форма на рис. 105, в); когда а близко к л, тогда Jc0 отрицателен и очень велик; это вытекает из того, что при а = л получается Jc0 = —со; действительно, тогда
/cos 0 M 2 cos
а этот интеграл равен —со. В предельном случае, когда fx = 1, кривая будет иметь форму, указанную на рис. 105, г с асимптотой Ох.
Если S продолжает возрастать, начиная от точки В, то угол O будет обязательно убывать, так как оц це может быть больше а. Начиная с этого 200
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
момента, нужно будет перед радикалом брать знак минус. Когда 0 изменяется от а до а, получается новая ветвь кривой, симметричная первой относительно В, и т. д. Получается бесконечное число одинаковых волнообразных линий, как в синусоиде.
Второй случай. Если jj. > 1, то Й может изменяться от 0 до 2л; у и l,f> никогда не обращаются в нуль; кривая имеет вид, указанный на рис. 104, б.
Интегрирование в этих двух случаях может быть выполнено в эллиптических функциях (см. Аппелль и Лякур, Principes de Ia theorie des fonctions elliptiques, приложения).
Третий случай. В промежуточном случае, когда ц = 1, кривая, как мы уже говорили, будет иметь асимптотой ось Ох, так как Xa = — со (рис. 105, г). В этом случае все интегрирования могут быть выполнены в элементарных функциях.
153. Случай первоначально прямолинейного стержня, сжимаемого на концах двумя одинаковыми и прямо противоположными силами.
Наблюдения показывают, что первоначально, прямолинейный упругий стержень, к концам которого приложены две одинаковые и противоположно направленные силы Т, не изгибается до тех пор, пока значение T не превысит некоторого предела; говорят, что тогда имеет место продольный изгиб. Когда T меньше этого предела, единственно возможной фигурой равновесия является прямолинейная форма. Лишь при значениях T превосходящих указанный предел, возможны изученные выше криволинейные фигуры равновесия. Найдем этот предел.
