Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ff D > 0.
Отсюда следует, что если для всех перемещений, допускаемых связями, JTD равно нулю, то равновесие будет иметь место.
166. Замечание о работе силы. Произведенный нами анализ различных возможных связей выдвигает со всей очевидностью один вопрос, на котором не бесполезно остановиться. Речь идет о том, что при вычислении элементарной работы силы, как возможной так и действительной, не следует смешивать материальную точку, к которой приложена сила, с геометрической точкой ее приложения.
В выражениях элементарной работы
FMM'cos(F. MM'), FV cos (F, V) Zt
MM' и V обозначают бесконечно малое перемещение и скорость материальной точки, к которой приложена сила, а не перемещение и скорость геометрической точки приложения силы. Например, если колесо катится по неподвижной кривой С (рис. 109), 220
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
то реакция P кривой приложена к материальной точке M колеса, находящейся в соприкосновении с кривой; после промежутка времени 8/ колесо примет бесконечно близкое положение, в соприкосновении будет новая точка M1 колеса и реакция P1 будет приложена в точке M1; что касается материальной точки М, находившейся в соприкосновении первоначально, то она займет положение M'. В выражение работы силы входит именно перемещение MM' и ско-MM' ,
(эта скорость равна нулю вследствие качения) материальной точки М, а не переме-
рость
U
щение AlM1 и скорость
Рис. 109.
MM1
U
геометрической точки приложения этой силы.
167. О связях, осуществляемых при помощи тел, не имеющих массы. Иногда бывает, что в системе, движущейся или находящейся в равновесии, имеются тела, массами которых, по сравнению с массами других тел системы, пренебрегают и считают эти тела лишенными массы. Это предположение можно осуществить, выразив, что силы, приложенные к телу без массы, находятся в равновесии. В самом деле, уравнения движения точки имеют вид <Г*х v d?y ,. diz '
m-dtf = X' m-w=Y' m-dv=z-
где X, Y, Z — проекции равнодействующей всех сил, приложенных к точке. Если точка т принадлежит движущейся системе, то ее ускорение конечно и, следовательно, если она имеет очень малую массу, то величины X, Y, Z будут также малыми. Если предположить, что /и = 0, то и X, Y, Z должны быть равны нулю и силы, приложенные к точке, уравновешиваются. Если теперь вообразить систему без массы, то масса каждой точки системы будет равна нулю, все приложенные к этой точке силы будут находиться в равновесии и, следовательно, совокупность всех приложенных к системе сил будет тоже находиться в равновесии.
Если, например, две точки MnM' связаны между собой при помощи твердого стержня, не имеющего массы, то действия стержня на обе точки выражаются двумя равными и прямо противоположными силами F и F'. В самом деле, если действие стержня на точку M есть F, то действие точки M на стержень есть —F; точно так же действие точки M' на стержень есть —F'. Следовательно, силы, действующие на стержень суть /7 и —F' и так как они уравновешиваются, то они равны и прямо противоположны. Мы снова приходим таким образом к связи, разобранной ранее (п. 161). ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
221.
Рассмотрим еще две материальные точки M и M', связанные нерастяжимой нитью, не имеющей массы и лежащей на неподвижной или движущейся поверхности 5, по которой она может скользить без трения. Пусть T и T'—действия, оказываемые нитью на точки M и M' и, следовательно, —T и —T' действия, оказываемые на нить этими точками. На нить действуют: на концах силы —T и —T, а на часть, соприкасающуюся с поверхностью 5, — нормальные силы, вызванные реакцией поверхности. Так как нить должна быть в равновесии, то ее натяжение везде одинаково и она должна расположиться по геодезической линии поверхности (п. 144); в частности и T = T'. Этот род связи встречается среди разобранных выше (п. 163); он приводит к некоторым геометрическим следствиям, которые мы укажем в качестве упражнений в конце главы (упражнения 1 и 2).
II. Первые примеры. Системы с полными связями.
Простые машины
168. Системы с полными связями. Говорят, что система материальных точек является системой с полными связями (с одной степенью свободы), если ее положение зависит только от одного параметра. В такой системе каждая точка описывает определенную неподвижную кривую и положение одной точки на траектории определяет положение всех остальных точек. Например, твердое тело, вращающееся вокруг оси, является системой с полными связями: положение тела зависит только от угла, на который оно повернулось от начального положения. Каждая точка ^ела описывает окружность, перпендикулярную к оси вращения, с центром на этой оси; положение одной из этих точек определяет положение всех остальных. Винт, движущийся в неподвижной гайке, цепь, скользящая по неподвижной кривой, являются системами с полными связями.
Эти системы являются наиболее простыми из всех, так как им можно сообщить только одно возможное перемещение, допускаемое связями, а именно то, которое получится, если бесконечно мало изменить единственный параметр, определяющий положение системы. Следовательно, существует только одно условие равновесия такой системы.
