Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
так как Vr лежит в касательной плоскости и ее проекция равна нулю. Но V' =— V',, так как обе эти величины обозначают
' п п ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
217.
проекции одного вектора V на два прямо противоположных направления N и N'\ следовательно,
V A-V', = 0,
п 1 п '
и работа |Г равна нулю.
в) Допустим, наконец, что какое-то твердое тело системы ограничено поверхностью 5 (рис. 108), которая катится и вертится по некоторой поверхности S', являющейся частью тела, также принадлежащего системе. Взаимное действие двух поверхностей 5 и S' в их точке касания не будет больше нормальным к общей касательной плоскости, так как оно препятствует скольжению. Пусть MP—действие поверхности S' на поверхность 5, приложенное в точке касания М, принадлежащей поверхности S, a M'P'—реакция поверхности 5 на поверхность S', приложенная в точке касания, принадлежащей поверхности S'. Эти две силы равны и противоположны. Сообщим системе перемещение, допускаемое связями, Рис. 108.
т. е. такое, при котором 5 и S' перемещаются и 5 катится по S'. Пусть, как и раньше, V и V' — возможные скорости точек M и M', Vp и Vp'—их проекции соответственно на MP и М'Р'. Сумма возможных работ обеих реакций связи P и P' равна
S' = bt (PVp+P'V'p,) = Pbt (Vp + Vp,).
Так как движение 5 относительно S' является качением и верчением, то относительная скорость Vr точки M относительно S' равна нулю; переносная скорость точки M так же, как и раньше,, равна скорости V' точки M' и общая формула
(V) = (Ve)+(vr)
принимает вид
(V) = (V).
Так как обе скорости VhV' равны, то их проекции Vp и Vpl на два противоположных направления равны по величине и обратны по знаку. Поэтому работа |Г равна нулю.
163. Сочетания предыдущих связей. Связи, осуществляемые в машинах, являются сочетаниями предыдущих. Так, легко включить в число связей, рассмотренных выше, связи, осуществляемые при помощи нитей или цепей. Вообразим, например, что две точки M и Al1 системы связаны между собой нерастяжимой цепью, протянутой частью своей длины по некоторой поверхности 5, по которой она может скользить без трения, причем эта поверхность S-либо неподвижна, либо движется. Эта связь является сочетанием. 218
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
предыдущих; звенья цепи являются твердыми телами; каждое из них сочленено со следующим в точке или вдоль оси; те из них, которые находятся в соприкосновении с поверхностью, скользят без трения по поверхности S. Одна из точек, например M1, могла бы, сверх того, быть неизменно связанной с поверхностью S: это было бы еще одной связью, рассмотренной выше. К такого рода связям относятся, в частности, связи, осуществляемые при помощи блоков.
164. Общее определение идеальных связей*). Мы видели, что в случаях наиболее простых связей и их сочетаний сумма возможных работ реакций связей равна нулю на любом возможном перемещении, допускаемом связями, если только отсутствует трение. Для связей более сложной природы, например, для связей, выражаемых уравнениями, это свойство принимается как определение самого понятия отсутствия трения; связи будут без трения, или идеальными, если на любом допускаемом ими перемещении сумма работ реакций связей равна нулю.
165. Доказательство принципа. Рассмотрим систему материальных точек M1, M2..... Mn, подчиненных заданным связям и находящихся под действием непосредственно приложенных сил. Обозначим через Zv координаты какой-нибудь из этих точек M1 и через Arv, Kv, Zv — проекции равнодействующей Z7v непосредственно приложенных к ней сил.
Мы хотим доказать следующее предложение: для того, чтобы, система в каком-нибудь положении была в равновесии, необходимо и -достаточно, чтобы при сообщении системе произвольного возможного перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равнялась нулю.
Это условие необходимо. Действительно, если равновесие имеет место, то каждая точка Mv находится в равновесии под действием всех приложенных к ней сил как заданных, так и реакций связей. Более точно можно рассматривать эту точку как свободную при
условии приложения к ней некоторых сил F^, F".....вызванных
связями. Точка будет тогда находиться в равновесии под действием заданных сил, имеющих равнодействующую и реакций связей /7', F" ... Для произвольного возможного перемещения, сообщенного этой точке, сумма работ всех этих сил равна нулю. То же самое справедливо для любой точки системы, и поэтому если всем точкам системы сообщить произвольные перемещения, допускаемые или не-допускаемые связями, то сумма работ всех сил как заданных, так и реакций связей будет равна нулю:
*) В оригинале «связи без трения». Термин «идеальные связи» в оригинале не применяется. {Прим. перев.) ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
219.
Здесь §d — сумма работ заданных сил, а §l — сумма работ реакций связей. Но если перемещения допускаются связями, то на основании предыдущей леммы Шь равна нулю и, следовательно, также
Условие является и достаточным. Если для всех перемещений, допускаемых связями, сумма JT0 работ заданных сил равна нулю, то система находится в равновесии. Для доказательства нам достаточно показать, что если система не находится в равновесии, то существует, по крайней мере, одно перемещение, допускаемое связями, для которого §-D отлично от нуля. Действительно, если система не находится в равновесии и предоставлена самой себе, то она начнет двигаться. Перемещения, которые при этом получат точки, будут допускаемые связями и каждая точка AIv, рассматриваемая как свободная, переместится в направлении равнодействующей всех действующих на нее сил F^, FF", ... как заданных, так и реакций связей. В этом действительном перемещении все начальные скорости равны нулю; но мы можем сообщить системе возможное перемещение, при котором каждая точка перемещается в том же направлении, что и при действительном перемещении, но при котором не все возможные скорости точек AIv равны нулю. Тогда сумма работ сил Fv, F", равная работе их равнодействующей, будет положительной, так как перемещение происходит в направлении этой равнодействующей. Так как то же самое имеет место для каждой точки системы, то сумма оГд^-оГ^ работ заданных сил и реакций связей для рассматриваемого перемещения будет положительной, отличной от нуля. Но это перемещение допускается связями. Следовательно, JT^ равно нулю и мы получаем
