Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 87

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 205 >> Следующая


После Лагранжа было предложено несколько доказательств принципа возможных скоростей. Одно из наиболее известных принадлежит Амперу; изложение его можно найти, например, в Механике Депейру. Позднее К. Нейман предложил другое доказательство (Berichte der Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften, март, 1886). Мы изложим здесь классическое доказательство, основанное на анализе различных видов простых связей. ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ

209.

І. Формулировка и доказательство принципа в случае связей, выражающихся равенствами

156. Возможное перемещение и работа. Пусть М — материальная точка, к которой, среди других сил, приложена также сила-/7. Допустим, что этой точке сообщено произвольное бесконечно малое перемещение MM'; это сообщенное точке перемещение называют возможным перемещением для того, чтобы отличить его от действительного перемещения, которое эта точка совершает под действием приложенных к ней сил. Элементарная работа

FШЛ'cos FMM' (1)

называется возможной работой силы F, соответствующей перемещению MM'. К этой возможной работе можно тогда применить все, что говорилось об элементарной работе (глава IV). Ограничимся напоминанием двух следующих предложений.

Для одного и того же возможного перемещения MM' возможная работа равнодействующей нескольких сил, приложенных к точке М, равна сумме работ составляющих сил.

Если возможное перемещение MM' есть геометрическая сумма лескольких перемещений, то работа одной и той же силы на перемещении MM' равна сумме работ этой сйлы на составляющих перемещениях.

Если обозначить через S^ бесконечно малый промежуток времени, в течение которого осуществляется возможное перемещение MM',

то вектор V, равный ^^ и направленный по MM', называется возможной скоростью, сообщенной точке М. Заменяя MM' через V оt, можно написать возможную работу в виде

FVcos(F, V)bt, (2)

так как угол между силой F и вектором V равен углу между этой силой и перемещением MM'.

Аналитически, в прямоугольной системе, если проекции силы обозначить через X, Y, Z, а проекции перемещения через ох, 83/, Ьг, то возможную работу можно выразить следующим образом:

Xqx+Yoy+ Zbz.

Мы будем брать возможную работу в форме (1); первоначально ее чаще брали в форме (2). Если будет употребляться форма (2) и если будут рассматриваться возможные перемещения нескольких различных точек, то условимся считать, что для всех этих точек промежуток S^ имеет одно и то же значение.

157. Формулировка принципа. Установив это, рассмотрим систему точек, подчиненных связям без трения, которые могут быть выражены при помощи равенств. Разделим все силы, приложенные к различным 210

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА

точкам, на две группы: реакции связей, происходящие от связей, налдженных на систему, и силы непосредственно приложенные, или заданные силы, которые действуют на систему. Тогда принцип возможных перемещений формулируется следующим образом.

Необходимые и достаточные условия равновесия системы заключаются в том, что для любого возможного ее перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равна нулю.

Мы сначала установим справедливость этого принципа для некоторого числа простых случаев.

158. Свободная точка. Пусть дана совершенно свободная материальная точка и пусть X, Y, Z — равнодействующая непосредственно приложенных к ней сил. В этом случае любое перемещение будет возможным, так как отсутствуют связи. Возможная работа, соответствующая какому-нибудь из этих перемещений, есть

§ = Xbx H-K by + Z 8г.

Если точка находится в равновесии, то X, Y, Z равны нулю и, следовательно, действительно IT = O, каково бы ни было перемещение 8х, Ьу, Ьг. Наоборот, если |Г = 0, каковы бы ни были Sx, Ьу, Ьг, то

X= 0, K = O, Z = 0,

и точка находится в равновесии.

159. Точка на поверхности. Рассмотрим точку, которая может перемещаться без трения по неподвижной поверхности

/(x, у, г) = О

и находится под действием силы F. В этом случае имеется одна связь, выражаемая предыдущим уравнением, и единственными перемещениями, допускаемыми этой связью, являются те, которые происходят по поверхности. Если точка находится в равновесии, то сила будет нормальна к поверхности и, следовательно, ко всем возможным перемещениям. Тогда возможная работа будет равна нулю на всех этих перемещениях. Наоборот, если работа равна нулю на любом перемещении MM', лежащем на поверхности, то из выражения

&= FMM' zos(F, MM')

следует, что либо F = O, либо cos (F, MM') = 0, т. е. либо сила равна нулю, либо сила нормальна к поверхности. В обоих случаях имеет место равновесие.

Выведем снова в качестве упражнения уравнения равновесия точки на поверхности, исходя из принципа возможных скоростей. Мы должны иметь

® = Xdx + Ydy-\-Zdz = 0 ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ 211.

при единственном условии, что приращение Sjc должно быть связано с произвольными приращениями 83; и 8z соотношением

которое выражает, что перемещение MM' происходит по заданной поверхности. Умножим это уравнение на X и сложим с предыдущим. Получим
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed