Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
а
трубки. Работа F равна тогда F Ss или — Ft, и сумма возможных работ
Рис. 117. ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
227.
непосредственно приложенных сил равна a Следовательно, необходи-
мое и достаточное условие равновесия будет
предполагая, что колонка сжата во всех своих точках.
Например, если единственными силами, приложенными к жидкости, являются нормальные давления P0 и P1, приложенные к поршням А и В С сечениями ID0 И (O1, то условие равновесия будет
Примечание. К этому же самому уравнению равновесия жидкости можно прийти при следующих условиях. Представим себе замкнутый сосуд произвольной формы, из которого выведены две цилиндрические трубки А и В с сечениями ш0 и (O1. Допустим, что сосуд заполнен жидкостью, на которую не действуют никакие непосредственно приложенные силы, и что трубки закрыты двумя поршнями А и В, щ которые действуют нормальные давления P0 и P1. Если поршень А вдвинуть на бесконечно малую величину е0, то внутренний объем уменьшится на е0ш0; необходимо, следовательно, чтобы поршень В поднялся на такую величину E1, что e0io0 == Eico1. Так как сумма возможных работ P0 и P1, очевидно, равна P0E0—P1Eто имеем уравнение равновесия
P0S0 - P1e1 = О, P0co1 — P1co0 = 0. На этой зависимости основано устройство гидравлического, пресса.
III. Общие условия равновесия, выводимые из принципа возможных скоростей
170. Основное уравнение статики. Мы будем следовать методу, указанному Лагранжем. Пусть задана система, образованная и точками
M1 (Jf1, Ук Z1), ,Miix2. Z2)..... Mn (хп, Уп, Zn)
и подчиненная связям, выражаемым такими равенствами, какие раг-сматривались в предыдущем..
Обозначим через Z7v (Ar4, Vv, Zw) равнодействующую заданных сил, действующих на точку M.,. На основании принципа возможных скоростей составляем уравнение
п
2 (ArvSxv + Vv8_yv + ZvSzv) = 0, (О
v = i
которое должно удовлетворяться для всех перемещений Sxv, 3_yv, 02ч, допускаемых связями. Можно сказать, что это уравнение является общим уравнением статики.
171. Приведение уравнений равновесия к наименьшему числу. В каждой частной системе для получения наиболее общего возможного перемещения, допускаемого связями, необходимо и достаточно 228
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
сообщить k параметрам qv q2, ..., qk произвольные вариации O^1, 8<72, ... , bqk. Тогда говорят, что рассматриваемая система имеет k степеней свободы.
Например, для получения наиболее общего перемещения точки по поверхности (п. 159) необходимо й достаточно сообщить двум параметрам произвольные вариации S9l и S92; следовательно, точка на поверхности является системой с двумя степенями свободы.
Для получения наиболее общего перемещения свободного твердого тела достаточно сообщить ему три произвольных бесконечно малых поступательных перемещения, параллельных трем осям координат, и повернуть его на три произвольных бесконечно малых угла вокруг этих трех осей. Следовательно, свободное твердое тело является системой с шестью степенями свободы.
Возьмем еще систему, образованную твердой материальной окружностью, которая катится без скольжения по неподвижной плоскости P (обруч). Для выражения связи нужно написать, что скорость материальной точки, находящейся в соприкосновении, равна нулю. Следовательно, для того чтобы сообщить обручу перемещение, допускаемое связью, необходимо и достаточно сообщить ему вращение на бесконечно малый угол вокруг произвольной оси, проходящей через точку касания. Но это элементарное вращение может быть всегда разложено на три: одно S9l вокруг нормали к неподвижной плоскости в точке касания А, другое S92 вокруг касательной к обручу в точке А, и третье 89з вокруг нормали к обручу, проведенной в точке А в неподвижной плоскости. Следовательно, обруч образует систему с тремя степенями свободы.
Вернемся к общему случаю системы с k степенями свободы. Так как, по предположению, перемещение системы определяется бесконечно малыми вариациями S9l, S92, . .., S9s, то вариации Sx1, S^1, Sz1, Sx2, S_y2, Sz2, ... координат различных точек системы будут определенными, если известны S9l, Zq2, .. ., Iqk. Для этих вариаций должны иметь место выражения вида
Sx1 = аи Zq1 + а12 S92 + ... + а11с Sqk,
3-Уі = Ьп S9l + b12 Zq2 + ... + blk Sqk,
Sz1 = c11 S9l + c12 S92 + ... + clk bqk,
................. (2)
Sxv = avl o9l+ Ov2S9a + ... -\-aykbqk,
s^v == ^vi + ЬЛ Iq2 + ... + byk Sqk,
Szv = Cvl S9l + Cv2 S92 + ... + сїЛ Sqk,
Если внести эти выражения в основное уравнение статики 2 (х, Sxv+KvS3Zv+ Zv SzJ=O, ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
229.
то оно примет вид
Q1 Zql + Q2Zq2+ ... +QkZqk = O,
в котором
п
Qi = 2 (^Ai + УAi + Z,c,i).
(3)
Так как уравнение (3) должно выполняться при любых 8ft, ^q2.....Zqk, то должно быть одновременно
Q1 = O, Q2=O..... Qk= 0. (4)
Таким образом, получились k необходимых и достаточных уравнений равновесия. Число этих уравнений в точности равно числу степеней свободы системы.
172. Голономные системы; координаты голономной системы. Говорят, согласно Герцу (Oeuvres completes, т. III), что система с k степенями свободы является голономной, когда существует такая система параметров ft, q2,..., qh, что координаты atv, уv, 2V различных точек системы выражаются в функции этих параметров в конечной форме
